[해석학] 예비학습

 

 

 

 

 

Proof.

(i) $0a+0a=(0+0)a=0a~\Longrightarrow$ 성질 1의 (ii)에 의해 $0a=0$이다.

이때, 각각의 등호에는 차례로 D, A3가 쓰였다.

(ii) (귀류법) $ab=0$이라 가정하자.

$1=b^{-1}a^{-1}ab=b^{-1}a^{-1}0=0$, 이는 (N), 즉, $1\not= 0$임에 모순이다.

(iii) $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0~\Longrightarrow~(-a)b=-(ab)$

(iv) $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$

이때, 각각의 등호에는 차례로 (iii), (iii), 성질1(iv)이 쓰였다.

 

이제 실수에 체의 공리에 의해 덧셈과 곱셈의 연산이 가능해졌다.
그 다음으로 실수에 필요한 공리는 실수끼리는 순서비교가 가능하다는 양치성 공리이다.
그리고 양치성 공리에 의해 실수는 양의 실수, $0$, 음의 실수로 구별할 수 있게 된다.

 

양치성 공리 순서공리, The positivity axioms

다음 두 조건을 만족하는 $P\subseteq\mathbb{R}$가 존재한다. $(P\not=\emptyset)$

(P1) $a, b\in P ~\Longrightarrow~a+b\in P,~ab\in P$

(P2) 임의의 $a\in\mathbb{R}$에 대해 다음 중 단 하나만 성립한다.

(i) $a\in P$

(ii) $a=0$

(iii) $-a\in P$

 

앞에서의 집합 $P$는 사실은 양의 실수를 의미한다.
양치성 공리를 이용해서 임의의 두 실수 사이의 대소관계를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

정의. 양수, 음수

(1) $a$는 양수 $\Longleftrightarrow~a\in P$

(2) $a$는 음수 $\Longleftrightarrow~(-a)\in P$

(3) $a, b\in\mathbb{R}$에 대해 

$a>b~\Longleftrightarrow~(a-b)\in P$

$a\geq b~\Longleftrightarrow~a>b~or~a=b$

(4) $a>0~\Longleftrightarrow~a-0\in P~\Longleftrightarrow~a\in P$

 

정리. 삼분 성질(trichotomy property)

임의의 실수 $a$가 $a>0,~a=0,~a<0$ 중 하나만 성립하게 되는 성질.
임의의 두 실수 $a, b\in\mathbb{R}$에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다. :

(i) $a>b~(a-b\in P)$
(ii) $a=b~(a-b=0)$

(iii) $a<b~(-(a-b)\in P)$

 

 

해석학에서 쓰이는 기본적인 용어와 영어표현을 소개하고 실수집합의 토대가 되는 3가지 공리중 두가지 공리인 체의 공리와 양치성 공리를 소개합니다.

 

이 다음에는 완비성 공리와 그와 관련된 개념들을 배울 것입니다.