[위상수학] 위상공간

위상수학을 시작하면서, 위상의 정의부터 할 것이다.

위상이라는 것은, 쉽게 설명하자면 '추상적인 기하학'이다.

예를 들면, 유클리드기하학에서는 두 원이 중심과 반지름이 다르면 서로 다른 원으로 인식하지만, 위상수학에서 하고자하는 것은 두 원을 중심과 반지름에 상관 없이 같게 보고 싶어하는 것이다.

 

허나, 원과 직선은 서로 다른 것으로 보고자 한다. 이를 원과 직선의 위상이 다르다라고 한다.

 

이런 일을 하기 전에, 우리가 해야할 것은 열린집합(open set, 개집합)을 도입하는 것이다.

 

위상의 정의 3.1.1은 단번에 이해하기는 굉장히 어렵다.

$\mathscr{T}$는 집합 $X$의 멱집합 $\mathscr{P} (X)$의 부분집합으로,

$\mathscr{T}$의 원소들을 열린집합이라고 정의한다. 즉, $\mathscr{T}$는 집합 $X$의 열린집합들을 모두 모은 것이다.

 

이때의 열린집합은 정의 3.1.1의 조건 (i), (ii), (iii)을 만족하기만 하면 된다.

즉, 가산개의 열린집합의 합집합이 열린집합이 되고, 유한개의 열린집합의 교집합이 열린집합이 될 때 열린집합이라 정의하는 것이다. - 해석학(2.1절)의 정리 2.1.10을 꼭 보자 -

 

이는 '거리'라는 개념을 생략하고 열린집합을 정의하다보니 생겨난 일이다.

두 길이가 같은 선분의 위상이 같게 하려면 , 거리라는 개념을 없애야 한다.

반지름과 중심이 다른 두 원을 위상적으로 같게 보려면 거리라는 개념은 떼어놓고 생각해야한다. 그래서 거리가 없는 열린집합의 정의가 필요했던 것이다.

 

 

 

 

 

 

실수의 열린집합 정의보다 위상수학에서의 열린집합의 정의가 훨씬 추상적이다.  위상을 어떻게 정의하냐에 따라 같은 집합에서의 열린집합이 바뀔 수도 있다.

실수집합에 대해 해석학에서 보던대로의 열린집합으로 정의하고 싶다면, 보기 3.1.4의 보통위상 $\mathscr{U}$ 로 정의하면 된다.