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아르키메데스의 성질(공리) ; Archimedean property ;대학수학/해석학 2016. 1. 1. 19:48
〈아르키메데스의 초상〉 앙드레 테베의 삽화집(1586년)에서 아르키메데스는 고대그리스 시대 철학자였으며, 그때 당시의 철학자는 지금의 수학자, 공학자, 과학자 기타 등등을 다 표현하는 말일 것이다. 아르키메데스의 업적이 소개된 페이지 , 뭐 위키백과 같은 것을 보면 알 수 있듯이 평범한 사람이 아니다(?) 수학의 가장 큰 관심사중 하나는 무한대 일것이다. 무한이라는 개념은 우리 인간이 상상력을 발휘해야 하는 것일지도 모른다. 때로는 눈에 보이지 않고, 상상하기도 힘든 개념이다. 그래서 고등학교때부터 수열의 극한을 공부할 때 무한에 대한 직관력을 높여주곤 했었다. 아르키메데스는 무한에 대해 어떻게보면 꽤뚫고 있었던 굉장히 이른 시기의 수학자이며, 이로 인해 현재까지 소개되는 것일지도 ..
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[위상수학] 위상공간대학수학/위상수학 2015. 12. 31. 09:35
위상수학을 시작하면서, 위상의 정의부터 할 것이다. 위상이라는 것은, 쉽게 설명하자면 '추상적인 기하학'이다. 예를 들면, 유클리드기하학에서는 두 원이 중심과 반지름이 다르면 서로 다른 원으로 인식하지만, 위상수학에서 하고자하는 것은 두 원을 중심과 반지름에 상관 없이 같게 보고 싶어하는 것이다. 허나, 원과 직선은 서로 다른 것으로 보고자 한다. 이를 원과 직선의 위상이 다르다라고 한다. 이런 일을 하기 전에, 우리가 해야할 것은 열린집합(open set, 개집합)을 도입하는 것이다. 위상의 정의 3.1.1은 단번에 이해하기는 굉장히 어렵다. $\mathscr{T}$는 집합 $X$의 멱집합 $\mathscr{P} (X)$의 부분집합으로, $\mathscr{T}$의 원소들을 열린집합이라고 정의한다. 즉,..
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[해석학] 내점과 집적점대학수학/해석학 2015. 12. 31. 08:51
이제 내점과 집적점이라는 개념을 소개한다. 이런 개념들도 모두 앞으로 설명할 '극한'이라는 개념과 밀접하게 연관되어있다. 위상수학에서는 조금 더 추상적인 내점과 집적점에 대한 정의가 소개되어있다. 도집합과 폐포가 정말 점 하나만 차이가 난다는 것이 아니라, 점이 포함되느냐 포함되지 않느냐의 차이로 보여진다는 의미이다. 관찰 2.2.7에서 ${1}$이라는 점을 $S$라고 할 때 , $S$의 도집합은 공집합이지만 폐포는 그렇지 않다. 단일한 점 뿐만 아니라, 점의 다발에 대해서도 같은 현상이 일어난다. 이것이 폐포와 도집합의 큰 차이점인 것이다.
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[해석학] 개집합과 폐집합대학수학/해석학 2015. 12. 30. 15:31
해석학의 주요문제는 극한의 문제였다. 극한을 연구하기 위해 필요한 도구인 개집합과 폐집합을 소개한다. 폐집합의 성질 정리 2.1.12.(1) $\mathbb{R}$, $\varnothing$은 폐집합이다.(2) 유한개의 폐집합 $O_1, O_2, \cdots, O_n$의 합집합 $\bigcup_{k=1}^{n}O_k$은 폐집합이다.(3) 임의개의 폐집합 $O_\alpha, \alpha\in I$의 교집합 $\bigcap_{\alpha\in I}O_\alpha$은 폐집합이다. 증명. 정리 2.1.10에 드모르간 정리를 이용하면 증명된다. ■ * 개집합은 합집합에 관대하다. 유한개의 개집합의 교집합은 개집합이지만, 무한개의 개집합의 교집합은 반드시 개집합이 되는게 아니다. 예를 들면 $\bigcap_{n\i..
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[현대대수학] 이항연산대학수학/현대대수학 2015. 12. 30. 10:34
1. 군1.1. 이항연산 현대대수학의 ‘군’이라는 개념을 다루기 전에 이항연산에 대해 정의해보자. 현대대수학은 ‘이항연산’에 대해 공부하는 것이나 다름없기 때문에, 앞으로도 이론을 진행함에 있어서 이항연산에 대한 문제가 가장 핵심적인 문제가 된다. 이와 관련된 자세한 내용은 이후 차근차근 다루게 될 것이다. 이항연산 정의 1.1.1. $A(\neq \emptyset )$: 집합, $f:A\times A\rightarrow A;(x,y)\mapsto z,f(x,y)=z$인 사상 $f$를 집합 $A$ 위의 이항연산(연산)이라 한다. 단, 순서쌍 $(a,b)$에서 $A$의 단 한 개의 원소인 $z$를 대응시켜야 한다. $f(x,y)$를 $x,y$의 합, 곱, 합성이라고 하며 $f(x,y)=z$와 같은 사실을 ..
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[해석학] 정수와 유리수의 분포대학수학/해석학 2015. 12. 29. 22:49
이제 완비성 공리를 이용한 유용한 정리인 아르키메데스의 성질을 증명하고 정수의 정렬성, 유리수와 무리수의 조밀성 등을 소개할 것입니다. 조밀성과 완비성의 수학적 의미를 구분하는 것이 중요 합니다. 유리수는 조밀성은 있지만 , 완비성은 없습니다. 구체적으로 그 이유를 설명하자면, 어떤 서로다른 두 유리수를 잡더라도 그 사이에 유리수가 존재하므로 유리수는 조밀합니다. 반면에, $(1,\sqrt{2} )\cap\mathbb{Q}$ 라는 집합 $A\subset\mathbb{Q}$는 유계이지만 , 최소상계가 존재하지 않습니다. 따라서 유리수는 완비성이 없습니다.