아르키메데스의성질
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[해석학] 정수와 유리수의 분포대학수학/해석학 2015. 12. 29. 22:49
이제 완비성 공리를 이용한 유용한 정리인 아르키메데스의 성질을 증명하고 정수의 정렬성, 유리수와 무리수의 조밀성 등을 소개할 것입니다. 조밀성과 완비성의 수학적 의미를 구분하는 것이 중요 합니다. 유리수는 조밀성은 있지만 , 완비성은 없습니다. 구체적으로 그 이유를 설명하자면, 어떤 서로다른 두 유리수를 잡더라도 그 사이에 유리수가 존재하므로 유리수는 조밀합니다. 반면에, $(1,\sqrt{2} )\cap\mathbb{Q}$ 라는 집합 $A\subset\mathbb{Q}$는 유계이지만 , 최소상계가 존재하지 않습니다. 따라서 유리수는 완비성이 없습니다.