[해석학] 완비성 공리

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(실)해석학은 실수집합을 다루는 학문이다.

고등학교때 배웠던 수열의 극한이나 함수의 극한은 대단히 직관적이었다.

 

초기의 수학 역시 매우 직관적이었다. 이것은 엄밀하지 못하다는 말이기도 했다.

$x$가 $0$에 가까이 간다는 말은 대단히 모호하다. $0$은 아닌데 $0$과 매우 가깝다는 말인데, 얼마나 가까우면 매우 가까운 것이고, 얼마나 가까우면 덜 가까운 것인가?

 

이것을 수학적으로, 즉 논리적이고 엄밀하게 정의내리고 나서 해석학은 무궁한 발전을 이루었다.

 

그래서 해석학의 가장 포인트가 되는 것은 '극한'이라는 개념이다.

여기에서 소개하는 완비성 공리는 그 시작이라고 할 수 있는 개념이다.

 

유리수 집합이 아니라 , 실수 집합에서 논리를 전개하는 이유가 무엇일까?

유리수 집합과 실수 집합의 차이는 무엇이고, 그 차이는 어디에서 나오는 것일까?

 

그리고 완비성 공리는 어떤 의미를 갖고 있는 것인가? 등등과 같은 문제를 생각해보는 것도 좋을 것 같다.