[해석학] 정수와 유리수의 분포

이제 완비성 공리를 이용한 유용한 정리인 아르키메데스의 성질을 증명하고 정수의 정렬성, 유리수와 무리수의 조밀성 등을 소개할 것입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

조밀성과 완비성의 수학적 의미를 구분하는 것이 중요 합니다.

 

유리수는 조밀성은 있지만 , 완비성은 없습니다.

구체적으로 그 이유를 설명하자면,

어떤 서로다른 두 유리수를 잡더라도 그 사이에 유리수가 존재하므로 유리수는 조밀합니다.

반면에, $(1,\sqrt{2} )\cap\mathbb{Q}$ 라는 집합 $A\subset\mathbb{Q}$는 유계이지만 , 최소상계가 존재하지 않습니다. 따라서 유리수는 완비성이 없습니다.