[해석학] 연속함수의 성질

4.3. 연속함수의 성질

[소개] 구간에서 연속인 함수들은 일반적인 연속함수들이 가지지 않은 매우 중요한 성질들을 많이 가지고 있다.

유계성 정리

[Comment] 컴팩트집합 위에서 정의된 연속함수는 해석학에서 중요한 성질들을 가지고 있다.

정리4.3.2. 유계성 정리

$K$가 $\mathbb{R}$의 컴팩트 부분집합일 때, 함수 $f:K\rightarrow\mathbb{R}$가 연속이면 $f$는 $K$에서 유계이다. 

 

Proof. (귀류법) $f$가 $K=[a, b]$에서 유계가 아니라 가정하자.

$\nexists M>0 ~s.t.~ \forall x\in K, f(x)\leq M$ 즉, $\forall M>0, \exists x_M\in K ~s.t.~ M\leq f(x_M)$

따라서, $\forall n\in\mathbb{N}, \exists x_n\in K ~s.t.~ n\leq f(x_n)$가 성립한다.

이러한 $x_n$을 모든 $K$상의 수열 $\{x_n\}$은 $K$가 유계이므로 유계수열이다.

볼자노 바이어슈트라스 정리에 의해, 수렴하는 부분수열 $x_{n_k}$가 존재한다.

$\exists x_{n_k} ~s.t.~ x_{n_k}\rightarrow \alpha$에서 $x_{n_k}$는 폐구간상의 수열이므로 극한값 $\alpha$는 $\alpha\in K$이다.

한편 $f$는 $x=\alpha$에서 연속이므로 $f\left( x_{n_k}\right)\rightarrow f(\alpha)$

수렴하는 부분수열은 유계이므로 $f\left(x_{n_k}\right)$는 유계이다.

이때, $\forall k\in\mathbb{N}, f\left(x_{n_k}\right)\geq n_k\geq k$가 성립하는데 이는 $f\left(x_{n_k}\right)$가 유계임에 모순이다.

 

참고.

유계성 정리에서 유계, 폐구간, 함수가 연속이라는 가정은 모두 필요하다.

(1) $A=[0, \infty ),~ f(x)=x$

(2) $B=(0, 1], ~g(x)=1/x$

(3) \begin{equation} C=[0, 1], ~h(x)=\begin{cases} 1/x&,x\neq 0 \\1&,x=0\end{cases}\end{equation}

 

정의 4.3.3. 최댓값, 최솟값

(1) 함수 $f : D\rightarrow\mathbb{R}$가 최댓값을 갖는다.

$\Longleftrightarrow~ \exists x_0~s.t.~f(x)\leq f(x_0), \forall x\in D$

$\Longleftrightarrow$ (i) $f(D)=\{ f(x) | x\in D\}$ 이 위로유계

         (ii) $\mathrm{sup} f(D)\in f(D)$, 이때 $\mathrm{sup} f(D)$는 $\max f(D)=f(x_0)$로도 볼 수 있다.

(2) 함수 $f : D\rightarrow\mathbb{R}$가 최솟값을 갖는다.

$\Longleftrightarrow ~\exists x_0\in D~s.t.~f(x_0)\leq f(x),\forall x\in D$

 

최대-최소 정리

 

정리4.3.4. 최대-최소 정리(극값정리, The Extreme Value Theorem)

$K$가 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 컴팩트 부분집합일 때 $f:K\rightarrow\mathbb{R}$가 연속이면 $f$는 $K$에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

즉, $f(x^*)=\sup\{f(x) | x\in K\} , f(x_*)=\inf\{ f(x) | x\in K\}$

가 되는 점 $x^*\in K$와 $x_*\in K$가 각각 존재한다.

 

Proof. 함수 $f:K\rightarrow\mathbb{R}$는 연속이다.

$\Longrightarrow$ 정리 4.3.2에 의해 $f(K)$는 유계 $\Longrightarrow$ 완비성 공리에 의해 $f(K)$는 상한과 하한을 가는다.

$\Longrightarrow$ $\exists m_*=\inf\{ f(x) | x\in K\}\in\mathbb{R},~\exists m^*=\sup\{ f(x) | x\in K\}\in\mathbb{R}$

$\Longrightarrow$ $f$가 $K$위에서 최대값을 가짐을 보이기 위해 다음의 주장을 증명하면 된다.

[주장] 적당한 점 $x^*\in K$가 존재하여 $f(x^*)=m^*$이다.

[주장의 증명] $n\in\mathbb{N}$이면 $m^*-1/n$은 $f(K)$의 상계가 아니다.

$\Longrightarrow$ $m^*-1/n<f(x_n)\leq m^*$인 실수열 $x_n \in K$이 존재한다. $K$가 유계이므로 $x_n$도 유계이다.

$\Longrightarrow$ 바이어슈트라스 정리에 의해 어떤 수 $x^*$로 수렴하는 부분수열 $x_{n_k}$가 존재한다.

$\Longrightarrow$ $K$는 하이네보렐정리에 의해 폐구간이고, $x_{n_k}\in K$이므로 $x^*\in K$이다.

한편 $f$가 $x^*$에서 연속이므로 $\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k})=f(x^*)$이다.

$\Longrightarrow$ 모든 자연수 $k\in\mathbb{N}$에 대해 $m^*-1/n_k<f(x_{n_k})\leq m^*$

$\Longrightarrow$ 조임정리에 의해 $\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k})=m^*$

따라서 $f(x^*)=m^*$이다.

 

따름정리4.3.5. 

연속함수 $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$은 최대값 또는 최소값을 갖는다.

 

Proof. $[a,b]$는 하이네-보렐정리에 의해 컴팩트집합이므로 정리 4.3.4에 의해 성립한다. 

 

참고

최대최소값정리에서 폐구간과 유계구간이라는 가정은 모두 필요하다.

(1) $f:(0,1)\rightarrow\mathbb{R},~f(x)=1/x$

(2) $f:(0,1)\rightarrow\mathbb{R},~f(x)=2x$

 

중간값 정리

정리4.3.7. 중간값 정리(사잇값 정리)

$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$는 연속함수, $m\in\mathbb{R}$일 때,

⒜ 만약 $f(a)<m<f(b)$ 또는 $f(b)<m<f(a)$이면, $f(c)=m$를 만족하는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

⒝ $f(a)\leq m\leq f(b)$ 또는 $f(b)\leq m\leq f(a)$이면 $\exists c\in [a, b]~s.t.~f(c)=m$이다.

 

Proof. (i) $f(a)<m<f(b)$인 경우 : $a=x_0, b=y_0$라 놓자.

$$[x_0, y_0]\supseteq [x_1, y_1]\supseteq \cdots\supseteq [x_n, y_n]\supseteq \cdots$$

이 되는 축소폐구간열 $\{ [x_n, y_n]\}$을 다음과 같이 정의하자.

각 자연수 $n\in\mathbb{N}$에 대해

$f(\cfrac{x_n+y_n}{2})\leq  m$이면 $x_{n+1}=\cfrac{x_n+y_n}{2}, y_{n+1}=y_n$

$f(\cfrac{x_n+y_n}{2})> m$이면 $x_{n+1}=x_n,~y_{n+1}=\cfrac{x_n+y_n}{2}$

로 정의하면 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해

$a\leq x_n \leq x_{n+1}<y_{n+1}\leq y_n\leq b\tag{$\ast$}$

$f(x_n)\leq m<f(y_n)\tag{$\ast \ast$}$

$y_n-x_n=\cfrac{b-a}{2^{n-1}} \tag{$\ast\ast\ast$}$

$\Longrightarrow$  축소구간정리, $(\ast), (\ast\ast), (\ast\ast\ast)$에 의해 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=c\in(a, b)$

$\Longrightarrow$ $f$가 연속이므로 $(\ast\ast)$에 의해 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)\leq m\leq \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}g(x_n)~\Longrightarrow~f(c)=m$

(ii) $f(b)<m<f(a)$인 경우

$g=-f$는 연속이고 $g(a)<-c<g(b)$

$\Longrightarrow$ (i)에 의해 $\exists c\in(a,b)~s.t.~g(c)=-m$

$\Longrightarrow~c\in(a,b)~s.t.~f(c)=m$

 

예제 4.3.8. 

For any $c>0$, $\exists x>0~s.t.~x^2=c$

Solution. $f:[0, c+1]\rightarrow\mathbb{R},~f(x)=x^2$은 다항함수이므로 연속이다.

$f(0)=0<c$, $f(c+1)>c,~f(0)<c<f(c+1)$에서 중간값 정리에 의해 $\exists x\in (0, c+1)~s.t.~f(x)=x^2=c$

 

정리4.3.9. 

$K$가 실수 $\mathbb{R}$의 컴팩트 부분집합일 때 함수 $f:K\rightarrow\mathbb{R}$이 연속이면 $f(K)$는 컴팩트집합이다.

 

Proof. 하이네보렐정리에 의해 $f(K)$가 컴팩트집합임을 보이기 위해 유계이고 폐집합임을 보이면 충분하다.

(i) $f(K)$는 유계이다.

$f$ : $K$에서 연속이므로 정리 4.3.2에 의해 $f(K)$는 유계이다.

(ii) $f(K)$가 폐집합임을 보이자.

$L\in\mathbb{R}$ : $f(K)$의 임의의 집적점이라 하면 $L\in f(K)$를 보이면 충분하다.

$\Longrightarrow$ $L$ : $f(K)$의 집적점이므로 $f(K)$에서의 적절한 수열 $\{ y_n\}$이 존재하여 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} y_n=L$

$\Longrightarrow$ 각 $y_n\in f(K)$에 대해 $f(x_n)=y_n$이 되는 점 $x_n \in K$이 존재

$\Longrightarrow$ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=L$이 되는 $K$에서의 수열 $\{ x_n \}$이 존재한다.

한편 $K$가 유계이므로 $K$에서의 수열 $\{ x_n \}$은 유계

$\Longrightarrow$ $\{ x_n \}$의 적당한 부분수열 $\{ x_{n_k} \}$가 존재하여 어떤 점 $t\in\mathbb{R}$에 수렴한다.

$\Longrightarrow$ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n_k})=L$ 이고 $x=t$에서 $f$가 연속이므로 $f(t)=L$

따라서 $L\in f(K)$이고, $f(K)$는 폐집합이다.

 

정의 4.3.10. 구간

$I$가 구간이다. $\Longleftrightarrow$ $\forall a,b\in I, a<c<b$이면 $c\in I$이다.

 

정리. 구간 특성화정리

$S$가 적어도 두 점을 포함하고 다음 성질을 갖는 $\mathbb{R}$의 부분집합이면 $S$는 구간이다.

$x, y\in S$이고 $x<y$이면 $[x, y]\subseteq S$이다.

 

정리 4.3.11. 구간 보존 정리

$I$ : 구간일 때 만약 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$이 연속이면 $f(I)$도 구간이다.

 

Proof. $y_1, y_2\in f(I)$이고 $y_1<c<y_2$라 하자.

$\Longrightarrow$ $\exists x_1, x_2\in I~s.t.~f(x_1)=y_1, f(x_2)=y_2$

$\Longrightarrow$ $f|_J : I \supseteq J=[x_1, x_2]\rightarrow\mathbb{R}$ : 연속$~s.t.~f(x_1)=y_1, f(x_2)=y_2$

$\Longrightarrow$ 중간값 정리에 의해 $\exists x_0\in (x_1, x_2)~s.t.~f(x_0)=c$

$\Longrightarrow$ $c=f(x_0)\in f(I)$, 따라서 $f(I)$는 구간이다.

 

정의 4.3.13. 순증가, 순증가함수, 순감소, 순감소함수

$I\subseteq\mathbb{R}$ : 구간, 함수 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$에 대해

⑴ $f$가 $I$에서 순증가 $\Longleftrightarrow~x,y\in I$가 $x<y$이면 $f(x)<f(y)$

⑵ $f$가 $I$에서 순감소 $\Longleftrightarrow~s.y\in I$가 $x<y$이면 $f(x)>f(y)$

 

정리4.3.14. 

⑴ 함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$이 연속이고 증가하면 $f^{-1}:f([a,b])\to\mathbb{R}$이 존재하여 $f^{-1}$는 $f([a, b])$위에서 연속이고 증가한다.

⑵ 함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$이 연속이고 감소하면 $f^{-1}:f([a,b])\to\mathbb{R}$이 존재하여 $f^{-1}$는 $f([a,b])$위에서 연속이고 감소한다.