[미분기하학] 중등교사 임용시험 기출20B8

 문제. $3$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$에서 곡면 $\mathbf{\mathrm{x}}(u,v)=(u^2+v, u-v^2, uv)$위의 $u=1$, $v=2$인 점 $\mathrm{P}$에서의 접평면(tangent plane)의 방정식을 구하시오. 또한 점 $\mathrm{P}$에서 곡면 $\mathbf{\mathrm{x}}$의 평균곡률(mean curvature) $H$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

풀이.

$\mathrm{P}$$=\mathbf{\mathrm{x}}(1,2)$$=(3, -3, 2)$

$\mathbf{\mathrm{x}}_u$$=(2u, 1, v)$이므로 $\mathbf{\mathrm{x}}_u(1,2)=(2, 1, 2)$

$\mathbf{\mathrm{x}}_v$$=(1, -2v, u)$이므로 $\mathbf{\mathrm{x}}_v(1,2)=(1, -4, 1)$

접평면의 법벡터를 $(\mathbf{\mathrm{x}}_u\times \mathbf{\mathrm{x}}_v)(1,2)$의 적절한 상수배인 $(1, 0, -1)$로 택하면 구하는 접평면의 방정식은 $(x-3)-(z-2)=0$ 즉, $x-z=1$이다.

한편 주어진 곡면의 제1기본형식 $\mathrm{I}$과 제2기본형식 $\mathrm{II}$를 구하면 $$\mathrm{I}=\begin{bmatrix}
9 & 0\\
0 & 18
\end{bmatrix}, ~\mathrm{II}=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & -1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} & 0 \end{bmatrix}$$

이므로 $$H=\cfrac{1}{2}\mathrm{tr}(\mathrm{I}^{-1}\mathrm{II})=\cfrac{\sqrt{2}}{18}$$

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