대학수학
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벡터공간 $\mathbb{R}^n$과 기저, 차원, 부분공간에 대해대학수학/선형대수학 2022. 5. 27. 16:30
선형대수학에서 가장 어려움이 큰 부분은 공간과 차원, 기저등을 이해하는 것일 것이다. 고등학교때 다루지 않은 생소한 용어들이 많이 튀어나오며 기저의 개수, 성분개수, 차원이란 용어들이 모두 뒤엉킨다. 특히나 '벡터공간'이라는 용어가 생소할 것이다. 우선 $\mathbb{R}^n$이란 무엇이 뜻하는지 알아보자. $\mathbb{R}^n$의 $\mathbb{R}$은 실수를 뜻하고, $\mathbb{R}^n$은 실수 $n$개를 늘어놓은 집합이다. 즉, $\mathbb{R}^n$의 한 원소는 실수 $n$개를 늘어놓은 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$이 될 것이다. 여기서 주의할 점은 $\mathbb{R}^3$에 $(x, y)$는 포함되지 않는다는 것이다. $(x, y)$는 실수가 2개인 원소이므로 ..
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[현대대수학] 갈로아확대체와 갈로아정리대학수학/현대대수학 2022. 5. 21. 22:45
4.7. 갈로아확대체와 갈로아정리 [소개] 드디어 갈로아정리를 소개할 차례이다. 현대대수학은 갈로아정리를 위해 끈덕지게 나아가는 과목이다. 갈로아정리에서는 지금까지 배워왔던 내용이 총망라하여 종합된다. 수학에서 가장 우아한 정리중 하나인 갈로아정리를 소개하기 위해 여러 정의를 도입해야한다. 이 절에서는 $\mathrm{Gal}(K/F)$의 부분군과 중간체 사이의 관계에 대해 논한다. Note 4.7.1. group side, field side $F\subseteq L\subseteq K$인 $K$의 부분체 $L$ 전체의 집합을 $\mathcal{F}$ 즉, $\mathcal{F}=\{E~|~F\leq E\leq K\}$ 갈로아군 $G(K/F)$의 부분군 $H$ 전체의 집합을 $\mathcal{G}$ 즉..
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[해석학] 연속함수의 성질대학수학/해석학 2022. 5. 16. 10:41
4.3. 연속함수의 성질 [소개] 구간에서 연속인 함수들은 일반적인 연속함수들이 가지지 않은 매우 중요한 성질들을 많이 가지고 있다. 유계성 정리 [Comment] 컴팩트집합 위에서 정의된 연속함수는 해석학에서 중요한 성질들을 가지고 있다. 정리4.3.2. 유계성 정리 $K$가 $\mathbb{R}$의 컴팩트 부분집합일 때, 함수 $f:K\rightarrow\mathbb{R}$가 연속이면 $f$는 $K$에서 유계이다. Proof. (귀류법) $f$가 $K=[a, b]$에서 유계가 아니라 가정하자. $\nexists M>0 ~s.t.~ \forall x\in K, f(x)\leq M$ 즉, $\forall M>0, \exists x_M\in K ~s.t.~ M\leq f(x_M)$ 따라서, $\forall..
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[해석학] 예비학습대학수학/해석학 2022. 3. 10. 23:01
Proof. (i) $0a+0a=(0+0)a=0a~\Longrightarrow$ 성질 1의 (ii)에 의해 $0a=0$이다. 이때, 각각의 등호에는 차례로 D, A3가 쓰였다. (ii) (귀류법) $ab=0$이라 가정하자. $1=b^{-1}a^{-1}ab=b^{-1}a^{-1}0=0$, 이는 (N), 즉, $1\not= 0$임에 모순이다. (iii) $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0~\Longrightarrow~(-a)b=-(ab)$ (iv) $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$ 이때, 각각의 등호에는 차례로 (iii), (iii), 성질1(iv)이 쓰였다. 이제 실수에 체의 공리에 의해 덧셈과 곱셈의 연산이 가능해졌다. 그 다음으로 실수에 필요한 공리는 실수끼리는 순서비교가 ..
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[현대대수학] 부분군대학수학/현대대수학 2020. 11. 2. 14:40
1.5. 부분군 부분군은 군의 특수한 부분집합을 뜻한다. 정의 1.5.1. 부분군(subgroup) 군 $(G, \cdot)$에서 $G$의 부분집합 $H(\neq \varnothing)$가 $G$의 연산 $\cdot$에 대해 군을 이룰 때, $H$를 군 $G$의 부분군(subgroup)이라고 하고, $H\leq G$라고 표기한다. 별것 아니지만, $H(\neq \varnothing )$라는 조건은 왜 필요한 것일까? 물론 공집합은 집합적으로는 의미가 있지만, 군이나 위상과 같이 수학적 구조를 이야기할 때에는 공집합은 아무런 수학적 의미가 없기 때문에 제외시킨다. 정의 1.5.2. 자명한 부분군, 진부분군 군 $G$에서 $G$와 $\{ e\}$는 $G$의 부분군이다. 특히 $\{ e\}$를 $G$의 자명한..
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[미분기하학] 중등교사 임용시험 기출20B8대학수학 2020. 11. 1. 14:37
문제. $3$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$에서 곡면 $\mathbf{\mathrm{x}}(u,v)=(u^2+v, u-v^2, uv)$위의 $u=1$, $v=2$인 점 $\mathrm{P}$에서의 접평면(tangent plane)의 방정식을 구하시오. 또한 점 $\mathrm{P}$에서 곡면 $\mathbf{\mathrm{x}}$의 평균곡률(mean curvature) $H$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 풀이. $\mathrm{P}$$=\mathbf{\mathrm{x}}(1,2)$$=(3, -3, 2)$$\mathbf{\mathrm{x}}_u$$=(2u, 1, v)$이므로 $\mathbf{\mathrm{x}}_u(1,2)=(2, 1, 2)$$\mathbf{\mathrm{x}}_v$$=..
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[확률과 통계학] 중등교사 임용시험 기출11#38대학수학/확률과 통계학 2020. 7. 21. 11:10
문제. 중등교사 임용시험 기출11#38 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수를 $X$라 하고, 나온 눈의 수와 같은 개수의 동전을 던져 나오는 앞면의 수를 $Y$라 하자. $X=m$이 주어질 때 $Y$의 조건부 확률함수(조건부 확률질량함수, conditional probability function)를 $p_{Y|X}(n|m)$, $Y$의 확률함수를 $p_{Y}(n)$이라고 하자. $p_{Y|X}(n|m)$, $p_{Y}(0)$을 옳게 나타낸 것은? 더보기 풀이. (i) $p_{Y|X}(n|m)$를 구하자. $X=m$인 조건 하에서 $Y\sim B\left(m,\cfrac{1}{2}\right)$이므로 $$p_{Y|X}(n|m)=P(Y=n|X=m)=_{m}\mathrm{C}_{n}\left(\cfrac{..
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[복소해석학] 복소변수함수대학수학/복소해석학 2016. 3. 19. 13:07
내용중에 실해석학을 참조하는 부분들이 있는데 , 해석학 포스팅을 올린게 없어서 불편할 것 같네요.. 언젠가 해석학 포스팅이 올라가면 하이퍼링크 형태로라도 연결되지 않을까 하는 기대를 합니다.. 먼 미래의 이야기가 될 수도 있겠지만요. 어쨌든 복소변수함수는 해석학에서의 이야기의 확장인데 , 여러모로 순서쌍 형태로 보아도 무방한 측면들이 많이 보입니다. 예를 들면 수열의 수렴을 보일 때 , 실수부 수열과 허수부 수열의 수렴을 보이는 게 되겠지요. 실수열을 다룰때는 수열 하나의 수렴만 보이면 됐다면 이제 복소수열에서는 두 수열의 수렴을 보여야겠네요. 이 포스팅에서는 극한, 연속, 미분이라는 큰 주제를 하나로 짤막하게 때로는 증명도 생략하면서 확장했습니다. 이럼에도 갈길이 멉니다. 다음 포스팅은 함수열을 생각해..