벡터공간 $\mathbb{R}^n$과 기저, 차원, 부분공간에 대해

선형대수학에서 가장 어려움이 큰 부분은 공간과 차원, 기저등을 이해하는 것일 것이다.
고등학교때 다루지 않은 생소한 용어들이 많이 튀어나오며 기저의 개수, 성분개수, 차원이란 용어들이 모두 뒤엉킨다.

특히나 '벡터공간'이라는 용어가 생소할 것이다.

 

우선 $\mathbb{R}^n$이란 무엇이 뜻하는지 알아보자.

$\mathbb{R}^n$의 $\mathbb{R}$은 실수를 뜻하고, $\mathbb{R}^n$은 실수 $n$개를 늘어놓은 집합이다.

즉, $\mathbb{R}^n$의 한 원소는 실수 $n$개를 늘어놓은 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$이 될 것이다.

여기서 주의할 점은 $\mathbb{R}^3$에 $(x, y)$는 포함되지 않는다는 것이다.

$(x, y)$는 실수가 2개인 원소이므로 $\mathbb{R}^3$에는 들어갈 수 없고 $\mathbb{R}^2$에 들어갈 것이다.

 

 

문제는 집합과 공간이다.

앞에서 소개한대로 $\mathbb{R}^n$은 집합이지만 , 공간이기도 하다.

 

공간이란 무엇일까?

집합은 공간과 비교하여 설명하자면 박물관과 같다.
나는 이런이런 원소를 가지고 있다며 그 원소들을 진열한다.
그 원소들의 개수도 셀 수 있고 그 원소의 생김새도 알 수 있을 것이다.
하지만 박물관에선 그것을 바라볼 수만 있지, 실제로 써보거나, 부수거나, 만지거나, 조작할 수 없다.

집합이 딱 그런 상태이다.

 

집합 $A=\{ a, b, c\}$를 생각해보자.

원소 $a$와 $b$를 합하거나 곱할 수 있는가?

집합 $A$만 덩그러니 주어져서는 아무 작용도 할 수 없다. 

그저 집합 $A$는 원소 $3$개가 주어졌구나, 그것이 $a, b, c$구나 정도만 알 수 있다.

 

그럼 이제 이 집합에 규칙을 주자.

우리가 흔히 쓰는 덧셈과 스칼라배의 규칙을 준 것을 벡터공간이라 한다.

 

$V$가 벡터공간이 되기 위해 규칙을 준다.

원소끼리 더할 수 있고, 스칼라배를 할 수 있도록 규칙을 주면 이제 $V$는 멈춰있는 집합이 아니라 한 원소의 길이를 늘리기도 하고, 두 원소를 합하기도 하는 더욱 역동적인 모습의 집합이 된다. 

이와 같이 좀 더 역동적인 집합의 모습을 공간이라 한다.

 

벡터공간이 되기 위한 조건과 규칙 등은 이전 포스팅에서 참고하자.
사실 $\mathbb{R}^n$은 벡터공간중 하나인 것이고 대표적인 것이지, 다른 벡터공간의 모습도 많이 있다.

이것은 훗날 다루게 될 것이다.

그 다음으로 중요한 개념은 기저이다.

기저는 우리가 이미 알고 있는 $\mathbb{R}^n$에서 알게모르게 자주 쓰였다.

$$i=(1, 0, 0),~ j=(0,1,0), ~k=(0,0,1)$$

은 삼차원 유클리드 공간의 대표적인 기저이다.

 

하지만 이를 모양을 살짝 바꿔서

$$i'=(2,0,0),~ j'=(0,2,0),~ k'=(0,0,2)$$

라고 해도 기저가 되며 심지어

$$i''=(1,1,1),~ j''=(1,1,0),~ k''=(1,0,0)$$

라 해도 기저가 된다.

 

이제 기저의 정의를 알아보자.

$\mathbb{R}^3$의 일차독립인 원소가 $\mathbb{R}^3$을 생성할 때

이 원소들을 $\mathbb{R}^3$의 기저라 한다.

 

이 정의를 이해하려면 일차독립이라는 말과 생성한다는 말을 이해해야한다.

$(1, 0, 0)$과 $(2, 0,0)$은 일차종속이다.

$(1,0,0)$과 $(0,1,0)$은 일차독립이다.

 

쉬운 예시를 들었는데,

덧셈과 스칼라배를 통해 다른 원소를 만들 수 있으면 일차종속,
덧셈과 스칼라배를 통해 다른 원소를 만들 수 없으면 일차독립이라 한다.

집합이 여러개일때도,

$\{(0,0,1), (0,0,2), (0,1,1)\}$ : 일차종속이다.

$(0,0,1)$과 $(0,0,2)$는 $2(0,0,1)=(0,0,2)$이기 떄문이다.

 

$\{(1,1,1), (0,1,1), (1,0,0)\}$ : 일차종속이다.

$(1,1,1)-(0,1,1)=(1,0,0)$이기 떄문이다.

 

$\{(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)\}$ : 일차독립이다.

$(1,1,1)$을 아무리 더하고 스칼라배해도 $(0,1,1)$을 만들 수 없으며

$(1,1,1), (0,1,1)$을 아무리 더하고 스칼라배해도 $(0,0,1)$을 만들 수 없다.

 

쉽게 설명했지만 일차독립과 종속을 판별하는 더욱 자세한 방법은 다른 포스팅을 참고하기 바란다.

그 다음은 생성한다는 이야기이다.
앞에서부터 계속 이야기한 덧셈과 스칼라배는 일종의 연산이며, 이 연산이 생성도구가 된다.

$(1,0,0)$을 연산(덧셈, 스칼라배)를 통해 만들 수 있는 집합을 $<(1,0,0)>$이라 표기한다.

이를 $(1,0,0)$의 생성집합이라 한다.

$(1,0,0)$은 $y$성분과 $z$성분을 전혀 만들 수 없으므로 $3$차원 공간에서 $x$축을 만들어낼 것이다.

 

$<(1,1,0)>$을 생각해보자.

$(2,2,0),~(3,3,0),~\cdots ,(0,0,0),~(-1,-1,0)$등을 생성할 수 있다.

$z=0,~y=x$인 직선이 된다.

 

$\mathbb{R}^3$에서 한 원소로 생성한 집합은 직선꼴이 되기도 하지만

$<(0,0,0)>$은 한 점만을 생성한다.

 

앞에서 일차독립, 일차종속을 이야기 한 이유는

생성집합 $<(0,0,1),~(0,0,2)>$를 보면 

이는 사실 $<(0,0,1)>$을 생각해도 충분하다.

$(0,0,2)$는 $(0,0,1)$이 생성한 집합에 공헌했다고 숟가락만 얹으려 하고 있다.
이런 행태는 팀레포트를 할 때 많이 발견된다.
이런 것을 숙청하는 것이 일차독립을 확인하는 작업이다.

이제 드디어 기저에 대한 이야기를 해보려 한다.
기저가 되려면 일차독립인지 따져야 하는 이유는 팀레포트를 할 때 다른 이의 공헌에 숟가락만 얹으려 하는 경우를 숙청하기 위함이다.
$(1,0,0)$이 생성했는데, $(2,0,0)$이나 $(3,0,0)$은 떼서 생각하는 것이 좋다고 판단하는 것이다.

그리고 $\mathbb{R}^3$를 만들어내는 기저는
앞에서 보았듯이 굉장히 여러종류가 된다.
앞에서 소개한 $\{i,j,k\}, \{i', j', k'\}, \{i'', k'', k''\}$을 보자.

하지만 한가지 공통점은 기저의 갯수에 있다.
$\mathbb{R}^3$를 만들려면 항상 $3$개의 원소가 필요하다.

그래서 이 $3$이란 숫자를 $\mathbb{R}^3$의 차원이라 부르고, $\dim\mathbb{R}^3=3$이라 표기한다.

 

한가지 더.

여기서 $<(1,0,0)>$도 하나의 공간이 되는데,

$<(1,0,0)>$의 한 원소는 $(x,0,0)$꼴이며 

이도 덧셈과 스칼라배가 모두 가능한 '공간'이다.

 

이럴때 이를 부분공간이라 부른다.
부분공간도 역시 기저와 차원이라는 개념을 사용한다.
$<(1,0,0)>$의 기저는 $(1,0,0)$이 될 것이며, 차원은 $1$차원이 될 것이다.
$<(1,0,0), (2,0,0)>$의 기저는 $(2,0,0)$은 일차종속이므로 제외하고 $(1,0,0)$이라 하면 된다.
이도 마찬가지로 기저는 굉장히 여러 종류가 될 수 있다.
$(1,0,0)$을 기저라 할 수 있고, $(2,0,0)$을 기저라 할수 있고,
하지만 기저의 개수는 하나로 동일하다.

 

$<(1,0,0), (0,1,0)>$이라 하면 $\mathbb{R}^2$을 만드는 것일까?

그렇지 않다.

$<(1,0,0), (0,1,0)>$의 한 원소는 $(x, y,0)$꼴이며

성분원소개수가 $3$개이므로

성분원소개수가 $2$개 인 것을 모아놓은 집합(공간)인  $\mathbb{R}^2$는 만들 수 없다.

 

다만, $<(1,0,0), (0,1,0)>$는 한 평면꼴로 나타날 것이므로

이때는 $W=<(1,0,0),(0,1,0)>$이라 하면

부분공간 $W$는 $\mathbb{R}^2$와 동형이라 말하고 $W\cong \mathbb{R}^2$라 표기한다.

 

 

이제 성분개수에 대해 헷갈릴 수 있으므로 이를 잠깐 언급하겠다.
$\mathbb{R}^3$의 기저의 성분개수는 당연히 $3$개가 된다.
하지만 차원이 $3$인 공간의 기저의 성분개수는 $3$개가 될 수도 있고 $4$개가 될 수도 있다.

차원이 $2$인 공간의 기저가 $\{(1,0,0), (0,1,0)\}$ 일 수 있었다는 점을 상기해보자.
이때 차원이 $2$인 공간의 기저의 성분개수는 $3$개였으며,
성분개수가 $2$개인 기저도 틀림없이 존재하지만 차원이 $2$라고 성분개수가 무조건 $2$인 것은 아니다.