대학수학/복소해석학
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[복소해석학] 복소변수함수대학수학/복소해석학 2016. 3. 19. 13:07
내용중에 실해석학을 참조하는 부분들이 있는데 , 해석학 포스팅을 올린게 없어서 불편할 것 같네요.. 언젠가 해석학 포스팅이 올라가면 하이퍼링크 형태로라도 연결되지 않을까 하는 기대를 합니다.. 먼 미래의 이야기가 될 수도 있겠지만요. 어쨌든 복소변수함수는 해석학에서의 이야기의 확장인데 , 여러모로 순서쌍 형태로 보아도 무방한 측면들이 많이 보입니다. 예를 들면 수열의 수렴을 보일 때 , 실수부 수열과 허수부 수열의 수렴을 보이는 게 되겠지요. 실수열을 다룰때는 수열 하나의 수렴만 보이면 됐다면 이제 복소수열에서는 두 수열의 수렴을 보여야겠네요. 이 포스팅에서는 극한, 연속, 미분이라는 큰 주제를 하나로 짤막하게 때로는 증명도 생략하면서 확장했습니다. 이럼에도 갈길이 멉니다. 다음 포스팅은 함수열을 생각해..
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[복소해석학] 복소평면의 위상적 분석대학수학/복소해석학 2016. 1. 20. 12:07
이번 포스팅은 크게 두파트로 나뉩니다. 1. 수열과 급수 2. 복소평면에서의 집합의 분류 실수에서 복소수로 무대를 옮겼을 뿐이지, 대부분의 정의와 정리는 대단히 비슷합니다. 추후에 수학자들이 엄밀하게 다듬기는 했지만 , 코시(Cauchy)가 복소함수로 미적분을 할 수 있다는 발견을 하고 난 뒤 수학계가 뒤흔들려버렸습니다. 이때가 대략 1800년대쯤이니 , 이것도 벌써 200년전의 이론입니다. 어쨌든 그러한 이야기를 하기 전에 , 또다시 지루한(..) 작업을 할 것입니다. 다음 챕터에서는 복소 변수함수의 극한, 연속, 미분 그리고 함수열 , 멱급수 등등을 정의하고 그 성질에 대해서 알아볼 것입니다.
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[복소해석학] 복소수의 거듭제곱근대학수학/복소해석학 2016. 1. 8. 21:32
이전에 복소평면을 도입하면서 지수형식을 소개했었습니다. 2016/01/07 - [대학수학/복소해석학] - [복소해석학] 복소평면 이러한 지수형식의 장점중 하나는 거듭제곱을 효과적으로 풀어낼 수 있다는 것입니다. 여기에서 z1/2와 √z의 사용법이 기존의 미적분학과 차이가 있다는 점을 유의해야합니다. z1/2는 일종의 집합이며, √z가 우리가 기존에 사용하던 루트의 표현입니다. 이 다음에는 복소평면에 위상적 개념들을 도입할 것입니다. 실해석학도 실수체를 정의한 다음 그와 관련된 위상적 개념을 도입했던 것을 기억하실 것입니다. 위상수학이 해석학의 여러 개념들의 구조를 설명하기에 딱 알맞기 때문인 것 같습니다.
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[복소해석학] 복소평면대학수학/복소해석학 2016. 1. 7. 15:13
앞의 포스팅에서는 복소수의 집합에 연산을 도입한 '복소수체'를 소개했다. 2016/01/01 - [대학수학/복소해석학] - [복소해석] 복소수체 이제 허수를 평면상에 나타낸 복소평면에 대해 알아보자. 복소수는 평면으로 표현되므로 굉장히 편한 점이 많다. 예를 들어, 한 0아닌 복소수 z를 두 성분의 벡터로 생각할 수 있다. 그리고 기존의 벡터의 크기 즉, 노름(Norm)의 형태를 통해 z의 크기를 도입할 수 있다. 이를 복소해석학에서는 모듈(Mudule)이라 한다. z를 스칼라로 보았을 때는 z의 모듈은 z의 '절대값'이 되고, 벡터로 보았을 때는 z의 '노름'이 된다. 즉, 0 아닌 복소수는 다양한 형태의 것들을 필요한 상황에 따라 달리 쓸 수 있다는 것이 가장 큰 강점이 ..