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대학수학/해석학

• [해석학] 연속함수의 성질

  대학수학/해석학 2022. 5. 16. 10:41

  4.3. 연속함수의 성질 [소개] 구간에서 연속인 함수들은 일반적인 연속함수들이 가지지 않은 매우 중요한 성질들을 많이 가지고 있다. 유계성 정리 [Comment] 컴팩트집합 위에서 정의된 연속함수는 해석학에서 중요한 성질들을 가지고 있다. 정리4.3.2. 유계성 정리 $K$가 $\mathbb{R}$의 컴팩트 부분집합일 때, 함수 $f:K\rightarrow\mathbb{R}$가 연속이면 $f$는 $K$에서 유계이다. Proof. (귀류법) $f$가 $K=[a, b]$에서 유계가 아니라 가정하자. $\nexists M>0 ~s.t.~ \forall x\in K, f(x)\leq M$ 즉, $\forall M>0, \exists x_M\in K ~s.t.~ M\leq f(x_M)$ 따라서, $\forall..

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• [해석학] 예비학습

  대학수학/해석학 2022. 3. 10. 23:01

  Proof. (i) $0a+0a=(0+0)a=0a~\Longrightarrow$ 성질 1의 (ii)에 의해 $0a=0$이다. 이때, 각각의 등호에는 차례로 D, A3가 쓰였다. (ii) (귀류법) $ab=0$이라 가정하자. $1=b^{-1}a^{-1}ab=b^{-1}a^{-1}0=0$, 이는 (N), 즉, $1\not= 0$임에 모순이다. (iii) $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0~\Longrightarrow~(-a)b=-(ab)$ (iv) $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$ 이때, 각각의 등호에는 차례로 (iii), (iii), 성질1(iv)이 쓰였다. 이제 실수에 체의 공리에 의해 덧셈과 곱셈의 연산이 가능해졌다. 그 다음으로 실수에 필요한 공리는 실수끼리는 순서비교가 ..

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• [해석학] 하이네-보렐(Heine-Borel) 정리

  대학수학/해석학 2016. 1. 18. 11:10

  이번에 다룰 내용은 위상개념중 중요한 개념인 컴팩트(compact)입니다. 열린집합이라는 개념을 이앞에서 다뤘지만 , 이것만으로는 해석학의 여러 성질들을 다룰 수 없으므로 한 집합을 열린집합으로 덮어놓고서 우리가 다루기 쉽도록 유한개로 줄일 수 있는 성질을 컴팩트라고 합니다. 2.4. 하이네-보렐 정리 위상개념에서 중요한 개념인 compact성을 정의할 것이다. 정리2.4.10. 하이네-보렐(Heine-Berel)의 정리 $K\subseteq\mathbb{R}$이 컴팩트일 필요충분조건은 유계인 폐집합이다. Proof. ($\Longrightarrow$) $K$를 컴팩트집합이라 하자. 정리 2.4.7에 의해 $K$는 폐집합이고, $K$가 유계임을 보이면 된다. 각 자연수 $n$에 대해 $G_n=(-n, n..

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• [해석학] 집합의 볼자노 바이어슈트라스 정리

  대학수학/해석학 2016. 1. 6. 21:56

  해석학의 유명한 정리인 축소구간정리와 볼자노 바이어슈트라스 정리에 대해 소개합니다. 이 앞 포스팅에서 집적점이라는 개념을 소개했는데요, 2015/12/31 - [대학수학/해석학] - [해석학] 내점과 집적점 어떤 경우에 집적점이 생길 수 있을지에 대한 것이 집합의 볼자노 바이어슈트라스 정리입니다. 계속해서 어떤 점이 쌓이려면 무한집합이 되어야겠죠. 하지만 양 옆으로 넓게 퍼져있다면 한 점에 계속해서 축적될 수 없을 것입니다. 볼자노 바이어슈트라스 정리는 그러한 고민을 한 것입니다. 여기서 논의되는 내용은 추후 수열과 연속성을 다룰 때에도 쓰이게 됩니다. 이 다음은 하이네-보렐 정리라는 또 굉장히 유명한 정리를 소개합니다. 대체로 2장의 내용은 위상수학에서 조금 더 추상적인 형태로 만나게 됩니다. 그에 대..

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• 아르키메데스의 성질(공리) ; Archimedean property ;

  대학수학/해석학 2016. 1. 1. 19:48

  〈아르키메데스의 초상〉 앙드레 테베의 삽화집(1586년)에서​ ​ 아르키메데스는 고대그리스 시대 철학자였으며, 그때 당시의 철학자는 지금의 수학자, 공학자, 과학자 기타 등등을 다 표현하는 말일 것이다. ​ 아르키메데스의 업적이 소개된 페이지​ , 뭐 위키백과 같은 것을 보면 알 수 있듯이 평범한 사람이 아니다(?) ​ 수학의 가장 큰 관심사중 하나는 무한대 일것이다. 무한이라는 개념은 우리 인간이 상상력을 발휘해야 하는 것일지도 모른다. ​ 때로는 눈에 보이지 않고, 상상하기도 힘든 개념이다. 그래서 고등학교때부터 수열의 극한을 공부할 때 무한에 대한 직관력을 높여주곤 했었다. ​ 아르키메데스는 무한에 대해 어떻게보면 꽤뚫고 있었던 굉장히 이른 시기의 수학자이며, 이로 인해 현재까지 소개되는 것일지도 ..

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• [해석학] 내점과 집적점

  대학수학/해석학 2015. 12. 31. 08:51

  이제 내점과 집적점이라는 개념을 소개한다. 이런 개념들도 모두 앞으로 설명할 '극한'이라는 개념과 밀접하게 연관되어있다. 위상수학에서는 조금 더 추상적인 내점과 집적점에 대한 정의가 소개되어있다. 도집합과 폐포가 정말 점 하나만 차이가 난다는 것이 아니라, 점이 포함되느냐 포함되지 않느냐의 차이로 보여진다는 의미이다. 관찰 2.2.7에서 ${1}$이라는 점을 $S$라고 할 때 , $S$의 도집합은 공집합이지만 폐포는 그렇지 않다. 단일한 점 뿐만 아니라, 점의 다발에 대해서도 같은 현상이 일어난다. 이것이 폐포와 도집합의 큰 차이점인 것이다.

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• [해석학] 개집합과 폐집합

  대학수학/해석학 2015. 12. 30. 15:31

  해석학의 주요문제는 극한의 문제였다. 극한을 연구하기 위해 필요한 도구인 개집합과 폐집합을 소개한다. 폐집합의 성질 정리 2.1.12.(1) $\mathbb{R}$, $\varnothing$은 폐집합이다.(2) 유한개의 폐집합 $O_1, O_2, \cdots, O_n$의 합집합 $\bigcup_{k=1}^{n}O_k$은 폐집합이다.(3) 임의개의 폐집합 $O_\alpha, \alpha\in I$의 교집합 $\bigcap_{\alpha\in I}O_\alpha$은 폐집합이다. 증명. 정리 2.1.10에 드모르간 정리를 이용하면 증명된다. ■ * 개집합은 합집합에 관대하다. 유한개의 개집합의 교집합은 개집합이지만, 무한개의 개집합의 교집합은 반드시 개집합이 되는게 아니다. 예를 들면 $\bigcap_{n\i..

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• [해석학] 부등식과 등식

  대학수학/해석학 2015. 12. 30. 09:17

  절대값과 삼각부등식에 대해 짤막하게 소개합니다.

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