[해석학] 하이네-보렐(Heine-Borel) 정리

이번에 다룰 내용은 위상개념중 중요한 개념인 컴팩트(compact)입니다.

열린집합이라는 개념을 이앞에서 다뤘지만 , 이것만으로는 해석학의 여러 성질들을 다룰 수 없으므로 한 집합을 열린집합으로 덮어놓고서 우리가 다루기 쉽도록 유한개로 줄일 수 있는 성질을 컴팩트라고 합니다.

 

2.4. 하이네-보렐 정리

 

위상개념에서 중요한 개념인 compact성을 정의할 것이다.

 

 

 

 

정리2.4.10. 하이네-보렐(Heine-Berel)의 정리

$K\subseteq\mathbb{R}$이 컴팩트일 필요충분조건은 유계인 폐집합이다.

 

Proof. 

($\Longrightarrow$) $K$를 컴팩트집합이라 하자. 정리 2.4.7에 의해 $K$는 폐집합이고, $K$가 유계임을 보이면 된다.

각 자연수 $n$에 대해 $G_n=(-n, n)$이라 하면

$$\bigcup_{n=1}^{\infty}G_n=\mathbb{R}$$

이므로 $\mathcal{C}=\{ G_n\}$은 $K$의 열린덮개가 된다. $K$는 컴팩트이므로 $\mathcal{C}$의 유한부분덮개가 존재하고 이 유한부분더패의 원소 중 첨자가 가장 큰 것을 $M$이라 하면

$$K\subseteq G_M=(-M, M)$$

이 된다. 따라서 $K$는 유계이다.

($\Longleftarrow$) $K$를 유계인 폐집합이라 하자.

$K$가 유계이면 적당한 폐구간 $[a,b]$에 포함된다. $K$가 폐구간이므로 정리 2.4.8에 의해 compact이다. 

 

 

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컴팩트집합은 실수상에서는 매우 간단한 형태로 규명된다는 것. 즉, 유계인 폐집합이라는 것이 하이네 보렐 정리의 내용입니다.

 

이러한 컴팩트집합은 연속에 대한 성질을 다룰 때 등등 유용하게 쓰입니다.

그래서 컴팩트라는 개념을 '제대로' 이해하는 것이 필요합니다.

 

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<관찰 2.4.4>에서 언급한 대로와 같이 , 어떤 집합이 유한개의 열린집합으로 덮어지는데에만 집중해서는 안됩니다. 어떤 집합이든지 커다란 열린집합 몇몇개로도 덮어지기 때문이죠.

 

어떤 형태로든 무한개로 덮어진 상황에서 , 다시 무한개를 떼어내고 유한개로만 덮을 수 있는지에 관심을 둬야합니다.

 

무한개로 집합을 덮는 것도 대단히 여러 형태가 있을 것입니다.

그런 형태가 어떤 형태이든지 간에 덮개를 유한개로 줄여서 유한덮개로 덮을 수 있어야합니다. 이를 유한 부분덮개라고 하는 것이죠.

 

나중에는 이러한 '유한성'이 어떤 중요한 역할을 하게 될지 배우게 될 것입니다.

 

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이제 해석학을 하기 전에 다뤄야할 위상개념이 딱 하나 남았습니다.

'연결, 비연결'이라는 성질입니다. 이는 다음 포스팅에서 다루도록 하겠습니다.