아르키메데스의 성질(공리) ; Archimedean property ;

 

〈아르키메데스의 초상〉
앙드레 테베의 삽화집(1586년)에서​

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아르키메데스는 고대그리스 시대 철학자였으며, 그때 당시의 철학자는 지금의 수학자, 공학자, 과학자 기타 등등을 다 표현하는 말일 것이다.

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아르키메데스의 업적이 소개된 페이지​ , 뭐 위키백과 같은 것을 보면 알 수 있듯이 평범한 사람이 아니다(?)

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수학의 가장 큰 관심사중 하나는 무한대 일것이다.

무한이라는 개념은 우리 인간이 상상력을 발휘해야 하는 것일지도 모른다.

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때로는 눈에 보이지 않고, 상상하기도 힘든 개념이다.

그래서 고등학교때부터 수열의 극한을 공부할 때 무한에 대한 직관력을 높여주곤 했었다.

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아르키메데스는 무한에 대해 어떻게보면 꽤뚫고 있었던 굉장히 이른 시기의 수학자이며,

이로 인해 현재까지 소개되는 것일지도 모른다.

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고대 그리스 시대의 유적들을 보면 천장도 다 어디로 가고 기둥만 둥둥 남아있는데...

이것만 보아도 신기하지만 아르키메데스의 성질이라는 제목으로 대학생 미적분학 책의 맨앞에 소개되는 것도 참으로 신기하다.

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아르키메데스는 이 세상의 모래알이 겉보기엔 무한하지만 유한하지 않을까 생각했었다.

모래알은 엄청나게 큰 수이지만, 자연수는 더더욱 큰 수였기 때문에 아무리 많은 모래알을 가져오더라도 자연수는 지지 않을거란 생각을 한 것이다.

 

 

 

사막의 수많은 모래들을 보고, 그 당시 사람들은 당연히 모래알은 무한히 많다고 생각하지 않았을까?

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이것이 바로 무한한 숫자에 대한 어떻게 보면 당연하지만 핵심적인 발상이다.

​그 당시엔 엄청나게 큰 수를 그저 무한하다고 바라보았지만, 아르키메데스는 그렇지 않다고 판단한 것이다.

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그리고 자연수와 실수에 대한 관계성도 꽤뚫었다.

어떤 굉장히 긴 막대기가 있다고 하자.

이런 긴 막대기는 짧은 막대기 여러개로 표현할 수 있다.

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짧은 막대기를 계속해서 반복해서 더하다보면 긴 막대기의 끝을 만날 수 있다는 것이다.

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이러한 긴 막대기의 길이를 실수 $r$이라 하고 짧은 막대기의 길이를 $1$이라 하면,

실수 $r$은 $1$의 $n$배를 하면 따라잡힌다는 말이다.

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즉, 이 말은

임의의 양의 실수 $c$에 대해 $n>c$인 자연수 $n$이 존재한다.

는 말로 표현된다. <해석학 1.2절의 정리 1.2.1을 참고하자!>

 

이때의 $c$는 대체로 엄청나게 큰 $c$일 것이다.

아무리 큰 $c$여도 자연수에게 두렵지 않다!

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자연수는 강한자에게 강하다.

 

 

위에서 양의 실수 $c$를 생각했었는데, 이를 분자가 아닌 분모에 올려놓자.

​$\frac{1}{c}$

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$c$가 겁나게 큰 수를 생각하는 것이었으면,  ​$\frac{1}{c}$ 는 굉장히 작은 수 를 상징하게 된다.

 

 

 

분모에 큰 수를 생각할수록 그 수는 점점 작아지기 때문이다. 너무 자세하게 설명하는 건가?

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이것을 앞의 ​

임의의 양의 실수 $c$에 대해 $n>c$인 자연수 $n$이 존재한다.

 

의 $c$ 대신에 $\frac{1}{c}$를 집어넣자.

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임의의 양의 실수 $c$에 대해 $\frac{1}{c}$도 임의의 양수이므로 $n>\frac{1}{c}$인 자연수 $n$이 존재한다.

 

$n>$ $\frac {1}{c}$를 뒤집어 쓰면 $c> \frac{1}{n}$ 이다.​

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앞에서는 엄청나게 큰 실수 $c$와 자연수 $n$의 관계를 알아보았는데,

분자 분모 바꿔서 생각했을 뿐인데 이제는 엄청나게 작은 실수 c에 대해서도 자연수와의 대소관계를 생각할 수 있게 된 것이다.

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​보기좋게 정리하자면 다음과 같다.

 

 임의의 양의 실수 $\epsilon$에 대해 $\frac{1}{n} <\epsilon$인 자연수 $n$이 존재한다.

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​$\epsilon$ 을 아무리 아무리 아무리 아무리 작게 잡아도,

$\frac {1}{n}$ $<\epsilon$ 를 만족하는 $n$을 잡기위해 저 $n$자리에 굉장히 큰 $n$을 투입할 수 있다는 이야기다.

 

 

 

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이거 잘보면, 아무리 큰 실수가 주어져도 더 큰 자연수가 있다는 것 을 역으로 이용한 것 아닌가?

​즉 앞에서 한 이야기를 다른 관점으로 바라본 것이나 다름없다.

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​임의의 양의 실수 $\epsilon$에 대해 $\frac {1}{n}$ $<\epsilon$인 자연수 $n$이 존재한다.

라는 아르키메데스 정리가 와닿지 않는다면,

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임의의 양의 실수 $c$에 대해 $n>c$인 자연수 $n$이 존재한다.

라는 당연한 원리가 머릿속에 제대로 와닿지 않았다는 말과 같다.

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엄청나게 째째해보이지만,

매우 강력한 정리이며 나름 고급해석학의 기초부분을 탱탱하게 지탱해주는게 아르키메데스의 정리이다.

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매우 큰 수와 매우 작은 수 와 자연수의 대결 이라 생각하면,

아르키메데스의 정리는 외울 것이 아니라 이해할 것이 될 것이라 생각한다.