[해석학] 개집합과 폐집합

해석학의 주요문제는 극한의 문제였다.

극한을 연구하기 위해 필요한 도구인 개집합과 폐집합을 소개한다.

 

 

 

 

 폐집합의 성질

정리 2.1.12.

(1) $\mathbb{R}$, $\varnothing$은 폐집합이다.

(2) 유한개의 폐집합 $O_1, O_2, \cdots, O_n$의 합집합 $\bigcup_{k=1}^{n}O_k$은 폐집합이다.

(3) 임의개의 폐집합 $O_\alpha, \alpha\in I$의 교집합 $\bigcap_{\alpha\in I}O_\alpha$은 폐집합이다.

증명. 정리 2.1.10에 드모르간 정리를 이용하면 증명된다. ■

* 개집합은 합집합에 관대하다. 유한개의 개집합의 교집합은 개집합이지만, 무한개의 개집합의 교집합은 반드시 개집합이 되는게 아니다. 예를 들면 $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(-\cfrac{1}{n},\cfrac{1}{n}\right)=\{0\}$으로, 개집합이 아니다. □

참고. 위상수학에서는 여기에서 논의된 개집합과 폐집합을 추상화하여 표현된다. 이때 여기에서 위상의 정의에서 나타나는 개집합의 정의가 정리 2.1.10과 굉장히 흡사하다는 것을 알 수 있다. □

참고로 , $\epsilon$이라는 그리스어(epsilon, 입실론 혹은 엡실론)은 '매우 작은 수'를 나타낼때 주로 쓰인다.