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대학수학/해석학

• [해석학] 정수와 유리수의 분포

  대학수학/해석학 2015. 12. 29. 22:49

  이제 완비성 공리를 이용한 유용한 정리인 아르키메데스의 성질을 증명하고 정수의 정렬성, 유리수와 무리수의 조밀성 등을 소개할 것입니다. 조밀성과 완비성의 수학적 의미를 구분하는 것이 중요 합니다. 유리수는 조밀성은 있지만 , 완비성은 없습니다. 구체적으로 그 이유를 설명하자면, 어떤 서로다른 두 유리수를 잡더라도 그 사이에 유리수가 존재하므로 유리수는 조밀합니다. 반면에, $(1,\sqrt{2} )\cap\mathbb{Q}$ 라는 집합 $A\subset\mathbb{Q}$는 유계이지만 , 최소상계가 존재하지 않습니다. 따라서 유리수는 완비성이 없습니다.

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• [해석학] 완비성 공리

  대학수학/해석학 2015. 12. 28. 23:05

  (실)해석학은 실수집합을 다루는 학문이다. 고등학교때 배웠던 수열의 극한이나 함수의 극한은 대단히 직관적이었다. 초기의 수학 역시 매우 직관적이었다. 이것은 엄밀하지 못하다는 말이기도 했다. $x$가 $0$에 가까이 간다는 말은 대단히 모호하다. $0$은 아닌데 $0$과 매우 가깝다는 말인데, 얼마나 가까우면 매우 가까운 것이고, 얼마나 가까우면 덜 가까운 것인가? 이것을 수학적으로, 즉 논리적이고 엄밀하게 정의내리고 나서 해석학은 무궁한 발전을 이루었다. 그래서 해석학의 가장 포인트가 되는 것은 '극한'이라는 개념이다. 여기에서 소개하는 완비성 공리는 그 시작이라고 할 수 있는 개념이다. 유리수 집합이 아니라 , 실수 집합에서 논리를 전개하는 이유가 무엇일까? 유리수 집합과 실수 집합의 차이는 무엇이고..

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