[복소해석학] 복소평면

앞의 포스팅에서는 복소수의 집합에 연산을 도입한 '복소수체'를 소개했다.

 

2016/01/01 - [대학수학/복소해석학] - [복소해석] 복소수체

 

이제 허수를 평면상에 나타낸 복소평면에 대해 알아보자.

복소수는 평면으로 표현되므로 굉장히 편한 점이 많다.

 

예를 들어, 한 $0$아닌 복소수 $z$를 두 성분의 벡터로 생각할 수 있다.

그리고 기존의 벡터의 크기 즉, 노름(Norm)의 형태를 통해 $z$의 크기를 도입할 수 있다. 이를 복소해석학에서는 모듈(Mudule)이라 한다.

 

$z$를 스칼라로 보았을 때는 $z$의 모듈은 $z$의 '절대값'이 되고, 벡터로 보았을 때는 $z$의 '노름'이 된다.

즉, $0$ 아닌 복소수는 다양한 형태의 것들을 필요한 상황에 따라 달리 쓸 수 있다는 것이 가장 큰 강점이 된다.

 

 

 

 

 

 

 

복소수의 지수형식에서 $\theta =\pi$로 놓으면 소설 '박사가 사랑한 수식'에서 소개된 그 유명한 방정식 $e^{\pi i}+1=0$를 얻는다.

이런 지수형식은 이렇게 아름다운 수식을 나타내는 것 말고도 많은 유용함이 있다.

기존에 미적분학에서 사용했던 성질들을 그대로 사용할 수 있고, 때에 따라 드 무아브르의 공식도 쓸 수 있다.

 

이제 다음 포스팅에 대한 소개를 할 시간이다.

 

복소수의 거듭제곱 $z^n$을 생각할 때에는 $z=x+yi$ 형태보다는 $z=e^{i\theta}$의 형태가 더 편할 것이다. 이와 같이 여기에서 얻어진 복소수의 수많은 형태를 토대로 다음 포스팅에서는 복소수의 거듭제곱에 대해 소개한다.