[확률과 통계학] 중등교사 임용시험 기출11#38

 

문제. 중등교사 임용시험 기출11#38

한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수를 $X$라 하고, 나온 눈의 수와 같은 개수의 동전을 던져 나오는 앞면의 수를 $Y$라 하자. $X=m$이 주어질 때 $Y$의 조건부 확률함수(조건부 확률질량함수, conditional probability function)를 $p_{Y|X}(n|m)$, $Y$의 확률함수를 $p_{Y}(n)$이라고 하자. $p_{Y|X}(n|m)$, $p_{Y}(0)$을 옳게 나타낸 것은?

 

풀이.

(i) $p_{Y|X}(n|m)$를 구하자.

$X=m$인 조건 하에서 $Y\sim B\left(m,\cfrac{1}{2}\right)$이므로

$$p_{Y|X}(n|m)=P(Y=n|X=m){=}_m{\mathrm{C}}_n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{m-n}=\frac{{}_m{\mathrm{C}}_n}{2^m}$$

(ii) $p_{Y}(0)$을 구하자.

$P(X=m)=\cfrac{1}{6}$이므로 $P(Y=n|X=m)=\cfrac{P(X=m,Y=n)}{P(X=m)}$에서 $P(X=m, Y=n)=\cfrac{_{m}\mathrm{C}_{n}}{6\cdot2^{m}}$

따라서

$$p_Y(0)=P(Y=0)=\sum _{m=1}^{6}P(X=m,Y=0)=\sum _{m=1}^6{}_m{\mathrm{C}}_0{2}^m=\frac{63}{6\cdot 64}$$