[현대대수학] 갈로아확대체와 갈로아정리

4.7. 갈로아확대체와 갈로아정리

 

[소개] 드디어 갈로아정리를 소개할 차례이다. 현대대수학은 갈로아정리를 위해 끈덕지게 나아가는 과목이다. 갈로아정리에서는 지금까지 배워왔던 내용이 총망라하여 종합된다. 수학에서 가장 우아한 정리중 하나인 갈로아정리를 소개하기 위해 여러 정의를 도입해야한다. 이 절에서는 $\mathrm{Gal}(K/F)$의 부분군과 중간체 사이의 관계에 대해 논한다. 

 

Note 4.7.1. group side, field side

$F\subseteq L\subseteq K$인 $K$의 부분체 $L$ 전체의 집합을 $\mathcal{F}$ 즉, $\mathcal{F}=\{E~|~F\leq E\leq K\}$

갈로아군 $G(K/F)$의 부분군 $H$ 전체의 집합을 $\mathcal{G}$ 즉, $\mathcal{G}=\{H~|~H\leq G(K/F)\}$

라 할 때, $\mathcal{G}$를 group side, $\mathcal{F}$를 field side라 한다.

 

정의 4.7.2. 중간체(intermediate field)

체 $F$의 확대체 $K$에서 $F\subseteq L\subseteq K$인 $K$의 부분체 $L$을 $K$의 중간체라고 한다.

 

정의 4.7.3. 고정된 원소, 고정한다, 고정된다.

$\sigma$가 체 $E$와 어떤 체의 동형사상일 때 $\sigma(a)=a$인 $E$의 원소 $a$는 $\sigma$에 의해 고정된 원소이다.

$S$가 $E$의 동형사상들의 모임이고 $F$가 $E$의 부분체일 때 $S$의 모든 원소 $\sigma\in S$가 $F$의 모든 원소를 고정시키면 $S$가 $F$를 고정한다고 한다. 만약 $\{\sigma\}$가 $F$를 고정하면 $\sigma$가 $F$를 고정한다고 한다.

 

정의 4.4.7. 고정체(불변체, fixed field)

체 $K$가 체 $F$의 확대체일 때 군 $G(K/F)$의 부분군 $H$ 즉, $H\in\mathcal{G}$에 대해 $H$의 모든 원소에 의하여 고정되는 $K$의 원소 전체의 집합은 $K$의 부분체가 된다.

이를 고정체라 하고 $K_H$ 또는 $\mathrm{fix}(H)$라 표기한다.

즉, $K_H=\{ u\in K~|~\forall\sigma\in H,~\sigma(u)=u\}$

 

고정체는 아무런 $H$에 대해 정의되는 것이 아니라, 갈로아군 $G(K/F)$의 부분군 $H$ 즉, 원소들이 자기동형사상으로 이루어진 부분군에 대해 정의된다.

 

 고정체를 그림으로 표현하면 다음과 같다.

 

Tip. 고정체와 갈루아군의 고정의 의미

$K_H$는 $H$의 원소가 고정시키는 원소를 모은 것이고 $G(K/F)$는 $F$를 고정시키는 $K$의 자기동형사상을 모은 것이다. 이 두 개념이 헷갈리므로 잘 살펴보자.

$\sigma\in G(K/F)$이면 $F$를 고정하는 것이므로 $\forall a\in F,~\sigma(a)=a$

$a\in K_H$이면 $H$가 고정하는 것이므로 $\forall\sigma\in H,~\sigma(a)=a$

 

구체적으로, $G(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q}(\sqrt{2}))$는 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$를 고정하는 $\psi_{\sqrt{3},~-\sqrt{3}},~\mathrm{id}$가 포함된다.

 

정리4.7.5. 

체 $K$가 체 $F$의 확대체일 때 다음이 성립한다.

(1) $F\subseteq L\subseteq K$인 $K$의 부분체 $L$에 대하여 $\mathrm{Gal}(G/L)$은 $\mathrm{Gal}(K/F)$의 부분군이다. 즉, $L\in\mathcal{F}$이면 $G(K/L)\in\mathcal{G}$이다.

(2) 군 $\mathrm{Gal}(K/F)$의 부분군 $H$에 대해 $K_H$는 $K$의 부분체이다. 즉, $H\in\mathcal{G}$이면 $K_H\in\mathcal{F}$이다.

 

Proof.

(1) $\sigma\in G(K/L)$라 하면 $\forall u\in L,~\sigma(u)=u$이므로 모든 $a\in F\subseteq L$에 대해 $\sigma(a)=a$이다. 따라서 $\sigma\in G(K/F)$

(2) $u, v\in K_H$라 하면 $\forall\sigma\in H,~\sigma(u-v)=u-v,~\sigma(uv)=uv$이므로 $u-v,~uv\in K_H$이다. 또한 $u \not=0$일 때 $\sigma(u^{-1})=\sigma(u)^{-1}=u^{-1}$이므로 $u^{-1}\in K_H$이다.

따라서 $K_H\leq K$

 

 

정리4.7.6. 

체 $K$가 체 $F$의 확대체일 때 갈로아군 $G=G(K/F)$이 부분군과 $K$의 중간체 사이에 다음과 같은 관계가 있다.

(1) $F\subseteq L\subseteq M\subseteq K$인 $K$의 부분체 $L, M$에 대해 다음이 성립한다.

$\{ 1\}=G(K/K)\subseteq G(K/M)\subseteq G(K/L)\subseteq G(K/F)=G$

(2) $\{ 1\}\subseteq J\subseteq H\subseteq G$인 $G$의 부분군 $H, J$에 대해 다음이 성립한다.

$F\subseteq K_G\subseteq K_H\subseteq K_J\subseteq K_{\{ 1\}}=K$

 

Proof.

(1) 정의에 의해 $G(K/K)=\{ 1\}$이고 $M$이 $L$의 확대체이면 $\forall\sigma\in G(K/M)$에 대해 $\forall a\in L\subseteq M,~\sigma(a)=a$이므로 $\sigma\in G(K/L)$ 즉, $G(K/M)\subseteq G(K/L)$이다.

따라서

$$\{1\}=G(K/K)\subseteq G(K/M)\subseteq G(K/L)\subseteq G(K/F)=G$$

(2) 정의에 의해 $K_{\{ 1\}}=K,~F\subseteq K_G$이다.

$J\subseteq H$일 때 $u\in K_H$라고 하면 $\forall \sigma\in H,~\sigma(u)=u$이고 특히 $\forall\sigma\in J,~\sigma(u)=u$이므로 $u\in K_J$이고

따라서 $K_H\subseteq K_J$이다.

한편 $H\subseteq G,~\{ 1\}\subseteq J$이므로 $K_G \subseteq K_H,~K_J\subseteq K_{\{ 1\}}$이다.

이를 종합하면, $F\subseteq K_G\subseteq K_H\subseteq K_J\subseteq K_{\{ 1\}}=K$

 

정리4.7.7. 

체 $K\in\mathcal{F}, H\in\mathcal{G}$에 대하여 다음이 성립한다.

(1) $F\subseteq L\subseteq K$인 $K$의 부분체 $L$에 대하여 $L\subseteq K_{\mathrm{Gal}(K/L)}$이고 $G$의 부분군 $H$에 대하여 $H\subseteq\mathrm{Gal}(K/K_H)$이다.

(2) $G(K/K_G)=G(K/F)$

 

Proof. (1) (i) $a\in L$이면 $a\in K_{G(K/L)}$임을 보이면 된다. $a\in L$이면 $\sigma\in G(K/L)$에 대해 $\sigma(a)=a$이다.

즉, $a$가 $G(K/L)$의 원소에 의해 고정된다. 따라서 $a\in K_{G(K/L)}$이다.

(ii) $\forall\sigma\in H,~\forall u\in K_H,~\sigma(u)=u$이므로 $\sigma\in G(K/K_H)$이고 따라서 $H\subseteq G(K/K_H)$이다.

(2) $F\subseteq K_G$이므로 $G(K/F)\supseteq G(K/K_G)$이다. 한편 $\sigma\in G(K/F)$이면 $\forall u\in K_G,~\sigma(u)=u$이므로 $\sigma\in G(K/K_G)$이고 $G(K/F)\subseteq G(K/K_G)$이다. 따라서 $G(K/K_G)=G(K/F)$이다.

 

정의 4.7.8. 정규확대체(Normal Extemsion Field)

체 $F$의 대수적 확대체 $E$에 대해 $F[x]$의 임의의 기약다항식 $f(x)$가 $E$위에서 분해될 때 $E$를 $F$의 정규확대체라 한다.

 

[comment] 체 $F$의 대수적 확대체 $E$에 대해 다음의 정리의 조건 중 하나를 만족하면 $E$는 $F$의 정규확대체이다. (그래서 교재마자 정의가 다르다.)

 

정리4.7.9. 

체 $F$의 대수적 확대체 $E(\leq \bar{F})$에 대해 다음은 서로 동치이다.

(1) $F[x]$의 다항식의 집합 $\{ f_i(x)~|~i\in I\}$에 대해 $E$가 $\forall i\in I,~f_i$의 $\bar{F}$에서의 모든 근을 포함하고 $F$를 포함하는 최소의 부분체이다.

(2) 모든 $E\leq K,~\sigma\in G(K/F)$에 대해 $\sigma(E)=E$

(3) $\alpha\in E$이면 $\mathrm{irr}(\alpha, F)$는 $E$에서 분해된다. 즉, $\mathrm{irr}(\alpha, F)$의 모든 근$(\in\bar{F})$은 $E$의 원소이다. 

 

[comment] 이제, $F$의 유한정규확대란 어떤 $F$위의 다항식이 $F$상의 분해체라는 것을 배운다.

 

Note.

특히, 유한확대체 $K$에 대해 $K$가 $F$의 정규확대체일 필요충분조건은 다음과 같다.

$\exists f\in F[x],~\deg f\leq 1~s.t.~K=\mathrm{SF}(f, F)$

 

보기. 

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$는 $\mathbb{Q}$의 정규확대체이다.

 

보기. 

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$는 $\mathbb{Q}$의 정규확대체가 아니다.

 

정리4.7.10. 정규확대체, 갈로아확대체의 불변성

$F\leq E\leq K$에 대해 다음이 성립한다.

(1) (정규확대체의 불변성) $K$가 $F$의 정규확대체이면 $K$는 $E$의 정규확대체이다.

(2) (갈로아확대체의 불변성) $K$가 $F$의 갈로아확대체이면 $K$는 $E$의 갈로아확대체이다.

 

Proof. $K$가 $F$ 위에서 $S\subseteq F[x]$의 분해체이면 $S\subseteq F[x]\subseteq E[x]$이므로 $K$는 $E$위에서 $S$의 분해체

 

정의4.7.11. 갈로아확대체(Galois extemsion)

체 $F$의 확대체 $K$가 유한, 정규, 분리확대체이면 $K$를 $F$의 갈로아확대체라고 한다. 교재에 따라 다음이 성립할 때 $K$를 $F$의 갈로아확대체라 정의하기도 한다.

$G=G(K/F)$의 고정체가 $F$와 일치할 때 즉, $K_G=F$

 

정규확대체, 갈로아확대체 등의 정의가 교재마다 조금씩 차이가 있으나 완전체로 제한하면 차이가 없다. $F$가 완전체이면 다음이 동치이기 때문이다.
$K$가 $F$의 갈로아확대체 $\Longleftrightarrow~K$가 $F$의 정규확대체

 

[comment] 다음은 갈로아 확대체의 예이다. 

 

보기4.7.12

$\mathbb{C}$는 $\mathbb{R}$의 갈로아확대체이다. 항등사상 $\mathrm{id}:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$와 $\sigma : \mathbb{C}\to\mathbb{C},~\sigma(a+ib)=a-ib$는 $\mathbb{R}$은 고정하는 자기동형사상이고 다음이 성립한다.

$$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\mathrm{i}\mathrm{d},\sigma \}\cong {\mathbb{Z}}_2$$

 

보기4.7.13.

아래의 체 $K$는 유리수체 $\mathbb{Q}$의 갈로아확대체가 아니다.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{ a_0+a_1 \sqrt[3]{2}+a_2\sqrt[3]{4} ~|~ a_0, a_1, a_2\in\mathbb{Q}\}$

실제로, $G=G(K/\mathbb{Q})=\{ 1\}$이므로 $K_G=K\not=\mathbb{Q}$이다.

 

정리

$E$가 $F$의 유한확대체이면 $E$가 $F$의 갈로아확대체일 필요충분조건은 $E_{G(E/F)}=F$이다.

 

Proof. ($\Longrightarrow$) $G=G(E/F),~K=E_G$라 하고 $K=F$임을 보이자.

$G\subseteq G(E/K)\subseteq G$이므로 $G=G(E/K)$이다.

$E$는 $F$의 갈로아확대체이므로 $[E:F]=|G|$이다.

한편 $E$는 $K$의 갈로아확대체이므로 $[E:K]=|G(E/K)|=|G|$이고 $[E:F]=[E:K]$이므로 $[K:F]=1$이고 따라서 $K=F$이다.

($\Longleftarrow$) $\alpha\in E$라 하자. $E$가 $F$의 유한확대체이므로 $G$는 유한군이다.

$f=\displaystyle\prod_{\sigma\in G}{(x-\sigma(\alpha))}$라 두면 $f$는 $(x-\mathrm{id}(\alpha))=(x-\alpha)$를 인수로 갖는 다항식이 된다.

$\sigma\in G$이면 $\sigma(a)\in E$이므로 $f\in E[x]$이다.

[주장] $f\in K[x]$이다.

[주장의 증명] $\forall\phi\in G$에 대해

$$\overline{\varphi }:E[x]\to E[x],\overline{\varphi }(a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n)=\varphi (a_0)+\varphi (a_1)x+\cdots +\varphi (a_n)x^n$$

을 생각하면 $G$가 유한군이므로 $\{\phi\sigma~|~\sigma\in G\}=G$가 성립하고, 따라서 다음이 성립한다.

$$\overline{\varphi }(f)={\displaystyle \prod _{\sigma \in G}\overline{\varphi }(x-\sigma (\alpha ))={\displaystyle \prod _{\sigma \in G}x-\varphi \sigma (\alpha ))={\displaystyle \prod _{\tau \in G}(x-\tau (\alpha ))=f}}}$$

$\bar{\phi}(f)=f$는 $f$의 각 계수가 $\phi$에 의해 고정됨을 의미하므로 $f$의 각 계수는 $K_G$에 속한다.

가정에 의해 $K_G=F$이므로 $f\in F[x]$이고 $f(\alpha)=0$이므로 $f=\mathrm{irr}(\alpha, F)\centerdot g,~g\in F[x]$이다.

$\alpha$의 임의의 $F$-켤레는 $f$의 근이므로 $\sigma(\alpha)$ 중 하나이고, 따라서 $E$에 속한다. 따라서 $E$는 $F$의 정규확대체이다. $f$는 중근을 갖지 않으므로, $\mathrm{irr}(\alpha, F)$도 중근을 갖지 않고 따라서 $E$는 $F$의 분리확대체이다.

종합하면 $E$는 $F$의 유한, 정규, 분리확대체이므로 갈로아확대체이다.

 

정리4.7.14. 

$K$가 $F$의 갈로아확대체일 때 $F\subseteq L\subseteq K$인 중간체 $L$에 대하여 $|G(K/L)|=[K:L]$과 $K_{G(K/L)}=L$이 성립한다.

 

Proof. 갈로아확대체의 불변성에 의해 $K$은 $L$의 갈로아확대체이고 따라서 $|G(K/L)|=[K:L]$과 $K_{G(K/L)}=L$이 성립한다.

정리4.7.15. 갈로아 이론의 기본 정리
(갈로아 이론의 중심정리, 갈로아 대응, fundamental theorem of Galois theory, Galois correspondence)

체 $K$를 체 $F$의 유한차원 갈로아확대체라 하자.

$F\subseteq L\subseteq K$인 $K$의 부분체 $L$ 전체의 집합을 $\mathcal{F}$, 즉 $\mathcal{F}=\{E~|~F\leq L\leq K\}$

갈로아군 $G(K/F)$의 부분군 $H$ 전체의 집합을 $\mathcal{G}$, 즉 $\mathcal{G}=\{ H~|~H\leq G(K/F)\}$

라 할 때, 다음이 성립한다.

(1) 두 사상

$$\mathrm{\Phi }:\mathcal{F}\to \mathcal{G},\mathrm{\Phi }(L)=G(K/L)$$

$$\mathrm{\Psi }:\mathcal{G}\to \mathcal{F},\mathrm{\Psi }(H)=K_H$$

은 모두 일대일 대응이고 $\Phi^{-1}=\Psi,~\Psi^{-1}=\Phi$이다.

(2) 두 중간체 $L,M\in\mathcal{F}$에 대해,

$$L\subseteq M⟺G(K/M)\subseteq G(K/L)$$

이고 $L\subseteq M$일 때 다음이 성립한다.

$$[K:M]=|G(K/M)|,[M:L]=|G(K/L):G(K/M)|,[L:F]=[G:G(K/L)]$$

(3) 두 부분군 $H, J\in\mathcal{G}$에 대해

$$J\subseteq H⟺K_H\subseteq K_J$$

이고 $J\subseteq H$일 때 다음이 성립한다.

$$[H:J]=[K_J:K_H],|H|=[K:K_H]$$

(4) 중간체 $L$이 $F$의 갈로아확대체 $\Longleftrightarrow~G(K/L)\vartriangleleft G(K/F)$

이고, 이 경우에 다음이 성립한다.

$$G(L/F)\cong G(K/F)/G(K/L)$$

 

 

갈로아 이론은 군과 체의 일대일 대응 관계를 나타내고 있다.

 

반전 원리(inversion principle, order-reversing)

갈로아 기본정리의 ⑴,⑵는 서로 대응되는 중간체의 포함관계와 갈로아군의 부분군사이의 포함관계는 반대라는 것을 알려준다. 한 부분군이 다른 부분군에 포함되면 대응하는 두 중간체 중 작은 체에 큰 부분군이 대응한다. 부분군이 더 크면 자기동형사상이 더 많아지고, 더 많아진 자기동형사상에 의해 고정되는 원소는 더 적어지므로 대응하는 고정체는 더 작아지는 것이다. 꼭대기와 가까운 군은 바닥에 가까운 체에 대응하게 되므로 $G(K/F)$의 부분군도표는 체 $K$와 $F$의 중간체의 도표를 뒤집은 것이 된다. 이를 반전 원리라고 한다.

 

정의. 아벨확대체, 순환확대체

체 $K$가 체 $F$의 갈로아확대체이고 $G(K/F)$가 아벨군이면, $K$가 $F$위의 아벨확대체이라 한다.
체 $K$가 체 $F$의 갈로아확대체이고 $G(K/F)$가 순환군이면, $K$는 $F$위의 순환확대체이라 한다.

 

 $G(K/F)$가 아벨군이나 순환군이면 그의 부분군은 모두 정규부분군이므로 $F$와 $K$의 중간체 $L$은 $F$ 위의 갈로아확대체이다. (by. 갈로아 기본정리)

 

정의 4.7.16. 프로베니우스 자기동형사상

$q=p^n$, ($p$는 소수)에 대해 $\mathbb{F}_q$를 고정하는 자기동형사상

$${\sigma }_p:{\mathbb{F}}_q\to \mathbb{F},{\sigma }_p(x)=x^p$$

를 프로베니우스 자기동형사상이라 한다.

 

정리4.7.17.

$[E:F]=2$이면 $E$는 $F$의 정규확대체이다.

 

Proof. $\alpha\in E-F$에 대해 $F\lneq F(\alpha)\leq E$에서 $[E:F(\alpha) : F]=[E:F]=2$

$\Longrightarrow ~[F(\alpha):F]\not= 1$이므로 $[E:F(\alpha)]=1,~[F(\alpha):F]=2$, 즉 $E=F(\alpha)$

$\Longrightarrow ~\mathrm{irr}(\alpha, F)=x^2+bx+c~(b,c\in F)$라 하면 $x^2+bx+c=(x-\alpha)(x-\beta)$

$\Longrightarrow ~b=-\alpha-\beta~\Longrightarrow~\beta=-\alpha-b$에서 $\beta\in F(\alpha)=E$

따라서 $E$는 $\mathrm{irr}(\alpha, F)\in F[x]$의 분해체이고 $F$의 정규확대체이다.

 

 군에서 $[G:H]=2$이면 $H\vartriangleleft G$였던 것과 $[E:F]=2$이면 $E$가 $F$의 정규확대체인 것을 보면 '정규'라는 이름이 붙은 이유를 알 수 있다.

 

보기 4.7.18.

(1) $\sqrt[3]{2}\in\mathbb{R}$에 대해 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$는 $\mathbb{Q}$위의 갈로아확대체가 아니다.

$p(x)=\mathrm{irr}(\sqrt[3]{2}, \mathbb{Q})=x^3-2$의 근

$$\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}{\omega }_3,\sqrt[3]{2}{\omega }_3^2,where{\omega }_3=e^{2\pi i/3}$$에 대해 $\sqrt[3]{2}\omega_3,~\sqrt[3]{2}\omega_3 ^2\not\in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$이기 때문(분해되지 않기 때문)이다.

(2) $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$는 $\mathbb{Q}$위의 갈로아확대체가 아니므로 $|G(K/F)|\not= [K:F]$의 예가 될 수 있다. 실제로, $|G(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), \mathbb{Q})|=1$이고 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}),\mathbb{Q}]=\deg p(x)=3$ (정리 4.1.19)이므로

$$|G(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}|\ne [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$$

가 성립한다.