[현대대수학] 반군, 단군(모노이드), 군

현대대수학은 이항연산에 대한 지대한 관심을 갖는 학문입니다.

앞 포스팅에서 이항연산에 대해 논의해보았었습니다.

 

2015/12/30 - [대학수학/현대대수학] - [현대대수학] 이항연산

 

이제 하나의 이항연산을 갖는 집합에 대해 소개합니다.

 

이항연산이 주어지더라도, 숫자들에 어떠한 규칙을 정해주지 않는다면 원하는대로 작동하지 않는다는 것을 이 장에서 쉽게 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

우리가 자주 사용하고 있는 실수체 $\mathbb{R}$ 역시 이항연산을 갖고 있지만, 덧셈과 곱셈이라는 두가지 이항연산을 갖고 있으므로 이는 추후 '환과 체'에서 다룹니다.

 

어쨌든, 중학교과 고등학교에서 익숙하게 사용해왔던 '결합법칙'과 '교환법칙', '분배법칙' 등도 모두 $\mathbb{R}$이 그러한 것을 사용할 수 있는 집합이기 때문에 가능한 것이었던 것입니다.

 

이렇게 기존에 의심없이 사용했던 것들을 모두 제거하고 정말 필요한 것들만 선택적으로 취하는 것을 '추상화'라고 합니다. 즉, 추상화라는 것은 갖고 있는 것은 버리고 , 알고 있는 성질도 모른체 하는 것입니다. 이러한 추상화의 장점은 구체성을 잃는 대신에, 가능성이 늘어난 다는 것입니다.

 

군의 정의만 간단히 소개한 지금은 아직은 군에 대해 와닿기 힘들기 때문에 , 다음 포스팅에서는 군의 더 많은 예시에 대해 소개합니다.