[현대대수학] 이항연산

1. 군

1.1. 이항연산

현대대수학의 ‘군’이라는 개념을 다루기 전에 이항연산에 대해 정의해보자.

현대대수학은 ‘이항연산’에 대해 공부하는 것이나 다름없기 때문에, 앞으로도 이론을 진행함에 있어서 이항연산에 대한 문제가 가장 핵심적인 문제가 된다.

이와 관련된 자세한 내용은 이후 차근차근 다루게 될 것이다.

 

 이항연산

 정의 1.1.1. $A(\neq \emptyset )$: 집합, $f:A\times A\rightarrow A;(x,y)\mapsto z,f(x,y)=z$인 사상 $f$를 집합 $A$ 위의 이항연산(연산)이라 한다. 단, 순서쌍 $(a,b)$에서 $A$의 단 한 개의 원소인 $z$를 대응시켜야 한다.
$f(x,y)$를 $x,y$의 합, 곱, 합성이라고 하며 $f(x,y)=z$와 같은 사실을 $\ast$와 같은 기호를 사용하여 $x\ast y=z$로 나타낸다. $f$ 대신에 $\ast$를 $A$위의 연산이라 하고 $A$위에 연산 $\ast$이 정의되어 있다.(defined)라 한다.

집합  $A$위에 연산 $\ast$이 정의되어 있고 $B\subset A$일 때, 임의의 $a,b\in B, a\ast b\in B$인 경우에 $B$는 연산 $\ast$에 대하여 닫혀있다(closed)라 한다. 이 경우  $\ast$를 $B$에 제한하여 주어진 이항연산 $\ast$을 유도된 연산 이라 한다.

 

 

 

 

이항연산의 정의는 여기서 꼼꼼하게 짚어둘 필요가 있다.

이후에 소개할, 군이라는 개념에는 이항연산이 주어지게 된다.

그 후에 부분군을 정의할 때도, 부분군에서 연산이 잘 작용하는지를 또 따지게 된다.

그리고 추후에 coset group(잉여군)을 구성할 때에도 연산이 주요 문제가 된다.

새로운 집합을 정의할 때마다 연산이 작용해야 숫자들 끼리 연산이 가능한데, 가장 중요한 문제가 이번 장에 나타난 것이다.

개인적으로는 '잘 정의되었다'라는 용어가 너무나 막연했고, 그것때문에 많이 헤맸었다.

그래서 다시끔 보기좋기 정리해 보았는데 도움이 될 지는 모르겠다.