[현대대수학] 부분군

1.5. 부분군

 

부분군은 군의 특수한 부분집합을 뜻한다.

 

정의 1.5.1. 부분군(subgroup)

군 $(G, \cdot)$에서 $G$의 부분집합 $H(\neq \varnothing)$가 $G$의 연산 $\cdot$에 대해 군을 이룰 때, $H$를 군 $G$의 부분군(subgroup)이라고 하고, $H\leq G$라고 표기한다.

 

별것 아니지만, $H(\neq \varnothing )$라는 조건은 왜 필요한 것일까?

물론 공집합은 집합적으로는 의미가 있지만, 군이나 위상과 같이 수학적 구조를 이야기할 때에는 공집합은 아무런 수학적 의미가 없기 때문에 제외시킨다.

 

정의 1.5.2. 자명한 부분군, 진부분군

군 $G$에서 $G$와 $\{ e\}$는 $G$의 부분군이다. 특히 $\{ e\}$를 $G$의 자명한 부분군(trivial subgroup)이라 한다.

$G$가 아닌 부분군을 $G$의 진부분군(proper subgroup)이라고 한다.

 

부분군인지 아닌지를 규명하는 다음과 같은 간편한 방법을 부분군 규준이라고 한다.

 

정리1.5.3. 부분군 규준(Subgroup sriterion)

군 $G$에서 $G$의 부분집합 $H$에 대해 다음은 서로 동치이다.

(1) $H \leq G$

(2) ① $\forall a,b \in H \Longrightarrow ab \in H$

     ② $\forall a \in H \Longrightarrow a^{-1} \in H$

(3) $\forall a,b \in H \Longrightarrow a^{-1}b \in H$

정리 1.5.5. 

$G$ : 군, 원소 $a\in G$에 대해 $\langle a\rangle$$=\{a^m~|~m\in\mathbb{Z}\}$라 하자.

(1) $\langle a\rangle$는 $G$의 부분군이다.

(2) $\langle a\rangle$는 아벨군이다.

(3) $H$가 $a$를 포함하는 $G$의 부분군이면, $\langle a\rangle\subseteq H$이다.

즉, $\langle a\rangle$는 $a$를 포함하는 $G$의 가장 작은 부분군이다.

 

 

 

보기 2.3.7. 

$V_4=\{1, \sigma, \tau, \rho\}$는 순환군이 아니다.

 

풀이. $\sigma^2=1$, $\tau^2=1$, $\rho^2=1$이므로 $\langle1\rangle=\{1\}$, $\langle\sigma\rangle=\{1, \sigma\}$, $\langle\tau\rangle=\{1, \tau\}$, $\langle\rho\rangle=\{1,\rho\}$이므로 $\nexists x\in V_4~s.t.~$$\langle x\rangle=V_4$이다. 따라서 $V_4$는 순환군이 아니다.

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선형대수/위상공간의 부분공간이든 무엇이든간에, 부분이라는 개념을 생각할 때는

어떤 부분까지는 이미 커버되느냐 를 생각하고, 집합이 부분집합이 되면서 잃는 것은 무엇인가를 생각해야한다.

 

이미 그 전 집합이 군임을 알기때문에, 혹은 선형대수에서는 벡터공간임을 알기 때문에, 혹은 위상에서는 위상임을 알기때문에

부분집합이 군/벡터공간/위상임을 보이기 위해선 그 전에 했던 예를 들어 군에서는 군의 모든 공리를 보여야하는지,

벡터공간에서는 벡터공간의 8가지 공리를 모두 보여야하는지, 그렇지 않다는 것이다.

 

나중에 알게 되겠지만 이러한 부분의 특성을 갖는 애들은 또 한정적인 모습이 된다.

어쩔 수 없이 $G$에 의해 결정되는 부분들이 생기게된다. 이런 부분을 탐구하는게 흥미롭다.