대학수학
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[복소해석학] 복소평면의 위상적 분석대학수학/복소해석학 2016. 1. 20. 12:07
이번 포스팅은 크게 두파트로 나뉩니다. 1. 수열과 급수 2. 복소평면에서의 집합의 분류 실수에서 복소수로 무대를 옮겼을 뿐이지, 대부분의 정의와 정리는 대단히 비슷합니다. 추후에 수학자들이 엄밀하게 다듬기는 했지만 , 코시(Cauchy)가 복소함수로 미적분을 할 수 있다는 발견을 하고 난 뒤 수학계가 뒤흔들려버렸습니다. 이때가 대략 1800년대쯤이니 , 이것도 벌써 200년전의 이론입니다. 어쨌든 그러한 이야기를 하기 전에 , 또다시 지루한(..) 작업을 할 것입니다. 다음 챕터에서는 복소 변수함수의 극한, 연속, 미분 그리고 함수열 , 멱급수 등등을 정의하고 그 성질에 대해서 알아볼 것입니다.
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[선형대수학] 행렬의 기본변형대학수학/선형대수학 2016. 1. 19. 13:23
이번 포스팅에서는 행렬의 기본변형이라는 내용을 다룹니다. 행렬을 입맛대로 바꾸는 대신 , 어떠한 고유의 성질을 유지하는 3가지 타입의 연산이 존재합니다. 이러한 3가지의 연산(기본변형)과 그 성질에 대해 배웁니다. 여기서 대단히 중요한 기약행사다리꼴 (줄여서 RREF)를 배웠습니다. RREF를 이용하면 3가지정도의 활용방법이 있습니다. 첫번째로 연립방정식의 풀이하기 좋은 형태로 바꿔줍니다. 두번째로 가역행렬을 대단히 쉽게 구해줍니다. 세번째로 행렬의 계급수를 파악하게 해줍니다. 다음 포스팅에서 본격적으로 RREF를 이용한 연립일차방정식의 해를 구하는 방법을 다루겠습니다.
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[해석학] 하이네-보렐(Heine-Borel) 정리대학수학/해석학 2016. 1. 18. 11:10
이번에 다룰 내용은 위상개념중 중요한 개념인 컴팩트(compact)입니다. 열린집합이라는 개념을 이앞에서 다뤘지만 , 이것만으로는 해석학의 여러 성질들을 다룰 수 없으므로 한 집합을 열린집합으로 덮어놓고서 우리가 다루기 쉽도록 유한개로 줄일 수 있는 성질을 컴팩트라고 합니다. 2.4. 하이네-보렐 정리 위상개념에서 중요한 개념인 compact성을 정의할 것이다. 정리2.4.10. 하이네-보렐(Heine-Berel)의 정리 $K\subseteq\mathbb{R}$이 컴팩트일 필요충분조건은 유계인 폐집합이다. Proof. ($\Longrightarrow$) $K$를 컴팩트집합이라 하자. 정리 2.4.7에 의해 $K$는 폐집합이고, $K$가 유계임을 보이면 된다. 각 자연수 $n$에 대해 $G_n=(-n, n..
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[집합론] 조건부 (conditional)대학수학 2016. 1. 10. 12:30
집합론에서 배우는 조건문 $p\to q$의 진리표는 다음과 같다. $p$ $q$ $p\to q$ $T$ $T$ $T$ $T$ $F$ $F$ $F$ $T$ $T$ $F$ $F$ $T$ 한번쯤은 왜 조건문의 진리표가 이렇게 됐는지를 고민해봤을 것 같다. 왜 진리표가 저렇게 나왔는지 쉬운 예를 생각해보았다. 그 답을 보기 전에 스스로 생각해보자. 만약 $p$ : 전교 1등을 한다. ,$q$ : 피자를 사준다. 라고 명제를 설정하고 부모님이 우리에게 $p\to q$, 즉 전교 1등을 하면 피자를 사준다고 했다고 하자. 전교 1등을 하고 피자를 사주시면 그 조건문은 참($T$)이 된다. 하지만 전교 1등을 했는데도 피자를 사주지 않는다면 그 조건문은 거짓($F$)이 된다. 여기부터가 중요하다! 전교 1등을 하지 ..
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[선형대수학] 다항식대학수학/선형대수학 2016. 1. 9. 10:48
이전에 행렬을 정의하고, 다양한 종류의 정사각행렬에 대해 알아보았습니다. 이러한 행렬을 이용하여 다항식을 풀이하는 방법을 소개할 것입니다. 그 전에 짤막하게(?) 다항식을 정의해야합니다. 꽤나 구성요소가 많지만, 중학교때부터 보아온 이미 익숙한 용어들일 것입니다. 1.4. 다항식 스칼라 $0$과 영다항식, 그리고 벡터 $\pmb0$ 은 어떻게 다른 것일까요? 예를 들면 이런 것입니다. A라는 나라와 B라는 나라는 각각 깃발을 가지고 있지만, A 나라의 깃발과 B 나라의 깃발은 서로 다르게 생긴 것입니다. B 나라의 병사가 A나라의 깃발을 들면 어색해지는 것처럼, 서로 달리 생긴 $0$을 서로 다른 집합이 혼용하여 사용하면 문제가 발생하는 것입니다. 여기에서는 '인수정리'라던가, '나눗셈 알고리즘'과 같은..
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[복소해석학] 복소수의 거듭제곱근대학수학/복소해석학 2016. 1. 8. 21:32
이전에 복소평면을 도입하면서 지수형식을 소개했었습니다. 2016/01/07 - [대학수학/복소해석학] - [복소해석학] 복소평면 이러한 지수형식의 장점중 하나는 거듭제곱을 효과적으로 풀어낼 수 있다는 것입니다. 여기에서 $z^{1/2}$와 $\sqrt{z}$의 사용법이 기존의 미적분학과 차이가 있다는 점을 유의해야합니다. $z^{1/2}$는 일종의 집합이며, $\sqrt{z}$가 우리가 기존에 사용하던 루트의 표현입니다. 이 다음에는 복소평면에 위상적 개념들을 도입할 것입니다. 실해석학도 실수체를 정의한 다음 그와 관련된 위상적 개념을 도입했던 것을 기억하실 것입니다. 위상수학이 해석학의 여러 개념들의 구조를 설명하기에 딱 알맞기 때문인 것 같습니다.
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[복소해석학] 복소평면대학수학/복소해석학 2016. 1. 7. 15:13
앞의 포스팅에서는 복소수의 집합에 연산을 도입한 '복소수체'를 소개했다. 2016/01/01 - [대학수학/복소해석학] - [복소해석] 복소수체 이제 허수를 평면상에 나타낸 복소평면에 대해 알아보자. 복소수는 평면으로 표현되므로 굉장히 편한 점이 많다. 예를 들어, 한 $0$아닌 복소수 $z$를 두 성분의 벡터로 생각할 수 있다. 그리고 기존의 벡터의 크기 즉, 노름(Norm)의 형태를 통해 $z$의 크기를 도입할 수 있다. 이를 복소해석학에서는 모듈(Mudule)이라 한다. $z$를 스칼라로 보았을 때는 $z$의 모듈은 $z$의 '절대값'이 되고, 벡터로 보았을 때는 $z$의 '노름'이 된다. 즉, $0$ 아닌 복소수는 다양한 형태의 것들을 필요한 상황에 따라 달리 쓸 수 있다는 것이 가장 큰 강점이 ..
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[해석학] 집합의 볼자노 바이어슈트라스 정리대학수학/해석학 2016. 1. 6. 21:56
해석학의 유명한 정리인 축소구간정리와 볼자노 바이어슈트라스 정리에 대해 소개합니다. 이 앞 포스팅에서 집적점이라는 개념을 소개했는데요, 2015/12/31 - [대학수학/해석학] - [해석학] 내점과 집적점 어떤 경우에 집적점이 생길 수 있을지에 대한 것이 집합의 볼자노 바이어슈트라스 정리입니다. 계속해서 어떤 점이 쌓이려면 무한집합이 되어야겠죠. 하지만 양 옆으로 넓게 퍼져있다면 한 점에 계속해서 축적될 수 없을 것입니다. 볼자노 바이어슈트라스 정리는 그러한 고민을 한 것입니다. 여기서 논의되는 내용은 추후 수열과 연속성을 다룰 때에도 쓰이게 됩니다. 이 다음은 하이네-보렐 정리라는 또 굉장히 유명한 정리를 소개합니다. 대체로 2장의 내용은 위상수학에서 조금 더 추상적인 형태로 만나게 됩니다. 그에 대..