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대학수학

• [위상수학] 기저와 부분기저

  대학수학/위상수학 2016. 1. 5. 22:57

  이제 열린집합의 형태를 구체적으로 나타내서 위상의 구조를 쉽게 파악하게 할 수 있는 '기저'를 소개한다. 이는 그림을 통해 이해하면 시간이 지나도 까먹지 않고 기억할 수 있다. 부분기저 $\mathscr{C}$로 기저 $\mathscr{B}$를 생성하고, $\mathscr{B}$로 위상 $\mathscr{T}$를 생성하는 부분을 기억하자. 부분기저와 기저의 차이점이 무엇인지, 위상과 기저의 차이점이 무엇인지를 고민해보면 그 구조를 파악하는데 도움이 될 수 있을 것 같다. 이 다음 포스팅은 '거리'와 '거리공간'에 대해 소개한다. 다만, 지금까지 배웠던 거리보다는 추상적일 것이다. 어쨌든 지금은 형태가 모호한 추상적인 수학을 배우고 있기 때문이다!

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• [현대대수학] 군의 기본 성질

  대학수학/현대대수학 2016. 1. 5. 09:57

  이전 포스팅에서는 군의 예를 통해서 군이라는 구조를 이해해봤습니다. 이번에는 군의 기본적인 성질에 대해 알아봅니다. 특히 항등원과 역원이 유일한지의 문제와 간략법칙을 소개합니다. 군을 $G$라고 하고 그 연산을 곱이라 할 때 그 원소 $x$를 거듭 곱했을 때, 혹은 $x^n$에 역원을 취할 때 등등의 간단한 성질들을 소개한 것입니다. 그런데, 간략법칙에 눈이 갑니다. 군을 정의할때 필요했던 결합법칙과 항등원은 정리 1.4.2의 간략법칙에 필요한 기본적인 도구였던 것입니다. 현대대수학을 막상 배워보면 '해를 푸는 문제'와 관련이 되어있나? 싶을 정도로 추상적이고, 숫자 하나 등장하지 않지만 이와 같이 구석구석에 많은 흔적들을 볼 수 있습니다.

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• [선형대수학] 정사각행렬

  대학수학/선형대수학 2016. 1. 4. 10:05

  이제 행의 수와 열의 수가 같은 행렬인 정사각행렬과 그 분류에 대해 소개합니다.생각보다 많은 분류가 있습니다. 그중 대표적인 것 몇몇개를 소개하는 것입니다. 여기서 도입하는 수많은 개념들은 , 행렬을 좋은 형태로 만드는데 유용하게 쓰일 것입니다.우리가 방정식을 풀때에 바로 대입법, 가감법을 사용하는 것이 아니라 미지수 앞의 계수를 맞춘다던가 , 적절한 형태로 조금씩 변형하는 것과 같이 행렬도 비슷한 기법들이 존재합니다. 어쨌든 지금은 도구들을 도입하는 단계입니다.이 다음 포스팅에서는 다항식과 근, 해와 관련된 내용을 다룹니다.그리고 이를 행렬을 이용해여 표현하는 것을 소개할 것입니다.

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• [현대대수학] 군의 예

  대학수학/현대대수학 2016. 1. 4. 09:50

  바로 앞 포스팅에서는 군의 정의에 대해 알아보았습니다. 2016/01/02 - [대학수학/현대대수학] - [현대대수학] 반군, 단군(모노이드), 군 이제 본격적으로 군은 어떤 것이 있는지 예시를 통해 이해해보겠습니다. 앞으로는 참으로 다양한 군을 소개하게 될 것입니다. 여기에서 소개한 것은 그 시작일 뿐입니다. 어떤 집합에 군의 구조를 조사하려면, 우선 원소가 무엇인지, 그리고 연산이 무엇인지, 그리고 그것이 이항연산을 이루는지를 탐구해야합니다. 그리고 실제로 군이 되는지를 탐구해야합니다. 여기에서, 집합이 공집합이 아닌지를 조사하는 것은 매우 의미가 있습니다. 구조가 있는 수학적 개념을 도입할 때, 공집합에 도입하면 의미가 없기 때문입니다. . 이 다음 포스팅에서는 군의 아주 기본적인 성질들을 소개합니..

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• [현대대수학] 반군, 단군(모노이드), 군

  대학수학/현대대수학 2016. 1. 2. 09:16

  현대대수학은 이항연산에 대한 지대한 관심을 갖는 학문입니다. 앞 포스팅에서 이항연산에 대해 논의해보았었습니다. 2015/12/30 - [대학수학/현대대수학] - [현대대수학] 이항연산 이제 하나의 이항연산을 갖는 집합에 대해 소개합니다. 이항연산이 주어지더라도, 숫자들에 어떠한 규칙을 정해주지 않는다면 원하는대로 작동하지 않는다는 것을 이 장에서 쉽게 알 수 있습니다. 우리가 자주 사용하고 있는 실수체 $\mathbb{R}$ 역시 이항연산을 갖고 있지만, 덧셈과 곱셈이라는 두가지 이항연산을 갖고 있으므로 이는 추후 '환과 체'에서 다룹니다. 어쨌든, 중학교과 고등학교에서 익숙하게 사용해왔던 '결합법칙'과 '교환법칙', '분배법칙' 등도 모두 $\mathbb{R}$이 그러한 것을 사용할 수 있는 집합이기 ..

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• [선형대수] 행렬

  대학수학/선형대수학 2016. 1. 1. 21:56

  체 라는 개념을 이용해서 우리에게 익숙한 '행렬'의 개념을 도입합니다. 만약 체라는 개념이 아직 와닿지 않는다면 , 간단하게 체 $F$ 대신에 실수집합(실수체) $\mathbb{R}$을 대입하여 생각하면 됩니다. 따라서 고등학교때 배운 행렬들은 모두 $Mat_{m\times n}(\mathbb{R} )$이라고 생각하면 됩니다. 앞으로의 포스팅에서도 예시를 들 때 $Mat_{m\times n}(\mathbb{R} )$ 에서의 예시를 들 것입니다.

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• [복소해석] 복소수체

  대학수학/복소해석학 2016. 1. 1. 20:13

  복소해석학의 주요무대가 되는 복소수체 $\mathbb{C}$를 소개하고, 복소수의 연산과 그와 관련된 간단한 성질을 알아봅니다.

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• 아르키메데스의 성질(공리) ; Archimedean property ;

  대학수학/해석학 2016. 1. 1. 19:48

  〈아르키메데스의 초상〉 앙드레 테베의 삽화집(1586년)에서​ ​ 아르키메데스는 고대그리스 시대 철학자였으며, 그때 당시의 철학자는 지금의 수학자, 공학자, 과학자 기타 등등을 다 표현하는 말일 것이다. ​ 아르키메데스의 업적이 소개된 페이지​ , 뭐 위키백과 같은 것을 보면 알 수 있듯이 평범한 사람이 아니다(?) ​ 수학의 가장 큰 관심사중 하나는 무한대 일것이다. 무한이라는 개념은 우리 인간이 상상력을 발휘해야 하는 것일지도 모른다. ​ 때로는 눈에 보이지 않고, 상상하기도 힘든 개념이다. 그래서 고등학교때부터 수열의 극한을 공부할 때 무한에 대한 직관력을 높여주곤 했었다. ​ 아르키메데스는 무한에 대해 어떻게보면 꽤뚫고 있었던 굉장히 이른 시기의 수학자이며, 이로 인해 현재까지 소개되는 것일지도 ..

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