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대학수학

• [위상수학] 위상공간

  대학수학/위상수학 2015. 12. 31. 09:35

  위상수학을 시작하면서, 위상의 정의부터 할 것이다. 위상이라는 것은, 쉽게 설명하자면 '추상적인 기하학'이다. 예를 들면, 유클리드기하학에서는 두 원이 중심과 반지름이 다르면 서로 다른 원으로 인식하지만, 위상수학에서 하고자하는 것은 두 원을 중심과 반지름에 상관 없이 같게 보고 싶어하는 것이다. 허나, 원과 직선은 서로 다른 것으로 보고자 한다. 이를 원과 직선의 위상이 다르다라고 한다. 이런 일을 하기 전에, 우리가 해야할 것은 열린집합(open set, 개집합)을 도입하는 것이다. 위상의 정의 3.1.1은 단번에 이해하기는 굉장히 어렵다. $\mathscr{T}$는 집합 $X$의 멱집합 $\mathscr{P} (X)$의 부분집합으로, $\mathscr{T}$의 원소들을 열린집합이라고 정의한다. 즉,..

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• [해석학] 내점과 집적점

  대학수학/해석학 2015. 12. 31. 08:51

  이제 내점과 집적점이라는 개념을 소개한다. 이런 개념들도 모두 앞으로 설명할 '극한'이라는 개념과 밀접하게 연관되어있다. 위상수학에서는 조금 더 추상적인 내점과 집적점에 대한 정의가 소개되어있다. 도집합과 폐포가 정말 점 하나만 차이가 난다는 것이 아니라, 점이 포함되느냐 포함되지 않느냐의 차이로 보여진다는 의미이다. 관찰 2.2.7에서 ${1}$이라는 점을 $S$라고 할 때 , $S$의 도집합은 공집합이지만 폐포는 그렇지 않다. 단일한 점 뿐만 아니라, 점의 다발에 대해서도 같은 현상이 일어난다. 이것이 폐포와 도집합의 큰 차이점인 것이다.

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• [해석학] 개집합과 폐집합

  대학수학/해석학 2015. 12. 30. 15:31

  해석학의 주요문제는 극한의 문제였다. 극한을 연구하기 위해 필요한 도구인 개집합과 폐집합을 소개한다. 폐집합의 성질 정리 2.1.12.(1) $\mathbb{R}$, $\varnothing$은 폐집합이다.(2) 유한개의 폐집합 $O_1, O_2, \cdots, O_n$의 합집합 $\bigcup_{k=1}^{n}O_k$은 폐집합이다.(3) 임의개의 폐집합 $O_\alpha, \alpha\in I$의 교집합 $\bigcap_{\alpha\in I}O_\alpha$은 폐집합이다. 증명. 정리 2.1.10에 드모르간 정리를 이용하면 증명된다. ■ * 개집합은 합집합에 관대하다. 유한개의 개집합의 교집합은 개집합이지만, 무한개의 개집합의 교집합은 반드시 개집합이 되는게 아니다. 예를 들면 $\bigcap_{n\i..

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• [현대대수학] 이항연산

  대학수학/현대대수학 2015. 12. 30. 10:34

  1. 군1.1. 이항연산 현대대수학의 ‘군’이라는 개념을 다루기 전에 이항연산에 대해 정의해보자. 현대대수학은 ‘이항연산’에 대해 공부하는 것이나 다름없기 때문에, 앞으로도 이론을 진행함에 있어서 이항연산에 대한 문제가 가장 핵심적인 문제가 된다. 이와 관련된 자세한 내용은 이후 차근차근 다루게 될 것이다. 이항연산 정의 1.1.1. $A(\neq \emptyset )$: 집합, $f:A\times A\rightarrow A;(x,y)\mapsto z,f(x,y)=z$인 사상 $f$를 집합 $A$ 위의 이항연산(연산)이라 한다. 단, 순서쌍 $(a,b)$에서 $A$의 단 한 개의 원소인 $z$를 대응시켜야 한다. $f(x,y)$를 $x,y$의 합, 곱, 합성이라고 하며 $f(x,y)=z$와 같은 사실을 ..

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• [해석학] 부등식과 등식

  대학수학/해석학 2015. 12. 30. 09:17

  절대값과 삼각부등식에 대해 짤막하게 소개합니다.

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• [해석학] 정수와 유리수의 분포

  대학수학/해석학 2015. 12. 29. 22:49

  이제 완비성 공리를 이용한 유용한 정리인 아르키메데스의 성질을 증명하고 정수의 정렬성, 유리수와 무리수의 조밀성 등을 소개할 것입니다. 조밀성과 완비성의 수학적 의미를 구분하는 것이 중요 합니다. 유리수는 조밀성은 있지만 , 완비성은 없습니다. 구체적으로 그 이유를 설명하자면, 어떤 서로다른 두 유리수를 잡더라도 그 사이에 유리수가 존재하므로 유리수는 조밀합니다. 반면에, $(1,\sqrt{2} )\cap\mathbb{Q}$ 라는 집합 $A\subset\mathbb{Q}$는 유계이지만 , 최소상계가 존재하지 않습니다. 따라서 유리수는 완비성이 없습니다.

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• [선형대수학] 체와 벡터공간

  대학수학/선형대수학 2015. 12. 29. 21:15

  행렬을 도입하기 전에 체와 벡터공간이라는 개념을 도입하며 시작합니다. 체, 벡터공간은 익숙한 개념이 아닙니다. 고등학교에서는 숫자끼리 더하고 곱하는데 아무런 눈치도 보지 않았습니다. 하지만 수학자들은 그것마저 깐깐하게 따지는 것입니다. 더할 수 있나? 곱할 수 있나? '체' 라는 구조는 숫자들이 서로 더해지고 곱해질 수 있게 할 수 있는 숫자의 운동장과 같습니다. 숫자들은 이러한 체 안에서 더해지고 곱해지는 것에 대해서는 허용되는 것입니다. 우리가 지금까지 실수끼리 더하고 빼고 곱하고 나눌 수 있었던 것도 실수집합 $\mathbb{R}$ 이 체이기 때문입니다. 이는 해석학의 예비학습의 체의 공리를 참고하시기 바랍니다.

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• [해석학] 완비성 공리

  대학수학/해석학 2015. 12. 28. 23:05

  (실)해석학은 실수집합을 다루는 학문이다. 고등학교때 배웠던 수열의 극한이나 함수의 극한은 대단히 직관적이었다. 초기의 수학 역시 매우 직관적이었다. 이것은 엄밀하지 못하다는 말이기도 했다. $x$가 $0$에 가까이 간다는 말은 대단히 모호하다. $0$은 아닌데 $0$과 매우 가깝다는 말인데, 얼마나 가까우면 매우 가까운 것이고, 얼마나 가까우면 덜 가까운 것인가? 이것을 수학적으로, 즉 논리적이고 엄밀하게 정의내리고 나서 해석학은 무궁한 발전을 이루었다. 그래서 해석학의 가장 포인트가 되는 것은 '극한'이라는 개념이다. 여기에서 소개하는 완비성 공리는 그 시작이라고 할 수 있는 개념이다. 유리수 집합이 아니라 , 실수 집합에서 논리를 전개하는 이유가 무엇일까? 유리수 집합과 실수 집합의 차이는 무엇이고..

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