[고등수학] 대칭이동

$x$축, $y$축, 원점에 대한 대칭이동

 

한 점이나 한 직선, 한 면을 사이에 두고 같은 거리에서 마주보고 있는 경우를 대칭이라고 한다. (초등학교 수학 5-6학년군)

좌표평면 위의 한 점 또는 도형을 어떤 점이나 직선에 대하여 대칭인 점 또는 도형으로 옮기는 것을 각각 그 점 또는 그 직선에 대한 대칭이동이라 한다.

 

좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x,y)$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{P}_1$은 $\mathrm{P}_1(x, -y)$이고,

$x$축에 대한 대칭이동은 $(x, y)\rightarrow(x, -y)$로 나타낸다.

좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x,y)$를 $y$축에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{P}_2$은 $\mathrm{P}_2(-x, y)$이고,

$y$축에 대한 대칭이동은 $(x, y)\rightarrow(x, -y)$로 나타낸다.

좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x,y)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{P}_3$은 $\mathrm{P}_3(x, -y)$이고,

원점에 대한 대칭이동은 $(x, y)\rightarrow(-x, -y)$로 나타낸다.

 

위의 사실들은 모두 좌표평면에 그림으로 나타내어 확인할 수 있다.

 

좌표평면 위 좌표평면에서 방정식 $f(x,y)=0$이 나타내는 도형을 $x$축, $y$축, 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 다음과 같다.

1. $x$축에 대하여 대칭이동하면 $f(x, -y)=0$

2. $y$축에 대하여 대칭이동하면 $f(-x, y)=0$

3. 원점에 대하여 대칭이동하면 $f(-x, -y)=0$

 

증명. 1. 방정식 $f(x,y)=0$이 나타내는 도형 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}'(x',y')$이라 하자. 점 $\mathrm{P}'(x',y')$은 어떤 방정식이 나타내는 도형 위의 점인지를 알면 된다.

$x'=x, y'=-y$이므로 $x=x', y=-y'$이고 이것을 방정식 $f(x, y)=0$에 대입하면 $f(x', -y')=0$이 성립한다.  점 $\mathrm{P}'(x',y')$은 방정식 $f(x, -y)=0$이 나타내는 도형 위의 점이다.

따라서 방정식 $f(x,y)=0$이 나타내는 도형을 $x$축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f(x,-y)=0$이다.

2,3은 앞의 1과 같은 방법으로 보일 수 있다.

 

직선 $y=x$에 대한 대칭이동

 

좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x,y)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{P}'$은 $\mathrm{P}'(y,x)$이다. 

 

증명. 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x,y)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}'(x',y')$라 하자.

직선 $y=x$는 선분 $\mathrm{PP}'$의 수직이등분선이다. 선분 $\mathrm{PP}'$의 중점 $\mathrm{M}\left(\frac{x+x'}{2}, \frac{y+y'}{2}\right)$은 직선 $y=x$위의 점이므로

$$\frac{y+y^{\prime }}{2}=\frac{x+x^{\prime }}{2}$$

$$x^{\prime }=y^{\prime }=y=x$$

이다. 또, 선분 $\mathrm{PP}'$은 직선 $y=x$에 수직이고 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 기울기의 곱은 $-1$이므로

$$\frac{y^{\prime }-y}{x^{\prime }-x}=-1$$

$$x^{\prime }+y^{\prime }=x+y$$

이다. $x'=y'=y=x$와 $x'+y'=x+y$을 연립해서 풀면 $x'=y, y'=x$이다.

따라서 점 $\mathrm{P}(x,y)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점은 $\mathrm{P}'(y,x)$이다.

 

직선 $y=x$에 대한 대칭이동은 $(x, y)\rightarrow(y,x)$로 나타낸다.

 

(직선 $y=x$에 대한 도형의 대칭이동)

방정식 $f(x,y)=0$이 나타내는 도형을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f(y,x)=0$이다.

 

증명. 방정식 $f(x,y)=0$이 나타내는 도형 위의 임의의 점 $\mathrm{P}(x,y)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}'(x',y')$라고 하자. 점 $\mathrm{P}'(x',y')$가 어떤 방정식이 나타내는 도형 위의 점인지를 알면 된다. $x'=y, y'=x$이고 이것을 방정식 $f(x, y)=0$에 대입하면 $f(y', x')=0$이 성립한다.

즉, $\mathrm{P}'(x',y')$는 방정식 $f(y,x)=0$이 나타내는 도형 위의 점이고 따라서 방정식 $f(x,y)=0$이 나타내는 도형을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f(y,x)=0$이다.