[고등수학] 다항식의 연산

다항식의 정리

 

다항식을 특정한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮아지는 순서로 정리하는 것을 그 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다라고 하고, 차수가 낮은 항부터 높아지는 순서로 정리하는 것을 그 문자에 대하여 오름차순으로 정리한다고 한다.

 

다항식의 덧셈과 뺄셈

 

다항식의 덧셈은 동류항끼리 모아서 계산한다. 이때 두 다항식의 차 $A-B$는 $A$에 $B$의 각 항의 부호를 바꾼 $-B$를 더한 것과 같다. 즉, $A-B=A+(-B)$

 

다항식의 덧셈의 성질

다항식 $A, B, C$에 대해

1. (교환법칙) $A+B=B+A$

2. (결합법칙) $$(A+B)+C=A+(B+C)$$

 

다항식의 곱셈

 

다항식의 곱셈은 식을 전개한 다음 동류항끼리 모아서 정리한다.

 

다항식의 곱셈의 성질

다항식 $A, B, C$에 대해
1. (교환법칙) $AB=BA$
2. (결합법칙) $$(AB)C=A(BC)$$
3. (분배법칙) $$A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC$$

 

곱셈공식

1. $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

2. $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3, (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

3. $$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3, (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$$

 

증명.

1. $$(a+b+c)^2=((a+b)+c)^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

 

다항식의 나눗셈

 

다항식의 나눗셈을 할 때에는 두 다항식을 내림차순으로 정리한 다음 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 한다.

다항식 $A$를 다항식 $B(B\neq0)$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하면 $A=BQ+R$로 나타낼 수 있다. 이때 $R$의 차수는 $B$의 차수보다 낮다. 특히, $R=0$이면 $A$는 $B$로 나누어떨어진다고 한다.