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대학수학/선형대수학

• 벡터공간 $\mathbb{R}^n$과 기저, 차원, 부분공간에 대해

  대학수학/선형대수학 2022. 5. 27. 16:30

  선형대수학에서 가장 어려움이 큰 부분은 공간과 차원, 기저등을 이해하는 것일 것이다. 고등학교때 다루지 않은 생소한 용어들이 많이 튀어나오며 기저의 개수, 성분개수, 차원이란 용어들이 모두 뒤엉킨다. 특히나 '벡터공간'이라는 용어가 생소할 것이다. 우선 $\mathbb{R}^n$이란 무엇이 뜻하는지 알아보자. $\mathbb{R}^n$의 $\mathbb{R}$은 실수를 뜻하고, $\mathbb{R}^n$은 실수 $n$개를 늘어놓은 집합이다. 즉, $\mathbb{R}^n$의 한 원소는 실수 $n$개를 늘어놓은 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$이 될 것이다. 여기서 주의할 점은 $\mathbb{R}^3$에 $(x, y)$는 포함되지 않는다는 것이다. $(x, y)$는 실수가 2개인 원소이므로 ..

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• [선형대수학] 행렬의 기본변형

  대학수학/선형대수학 2016. 1. 19. 13:23

  이번 포스팅에서는 행렬의 기본변형이라는 내용을 다룹니다. 행렬을 입맛대로 바꾸는 대신 , 어떠한 고유의 성질을 유지하는 3가지 타입의 연산이 존재합니다. 이러한 3가지의 연산(기본변형)과 그 성질에 대해 배웁니다. 여기서 대단히 중요한 기약행사다리꼴 (줄여서 RREF)를 배웠습니다. RREF를 이용하면 3가지정도의 활용방법이 있습니다. 첫번째로 연립방정식의 풀이하기 좋은 형태로 바꿔줍니다. 두번째로 가역행렬을 대단히 쉽게 구해줍니다. 세번째로 행렬의 계급수를 파악하게 해줍니다. 다음 포스팅에서 본격적으로 RREF를 이용한 연립일차방정식의 해를 구하는 방법을 다루겠습니다.

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• [선형대수학] 다항식

  대학수학/선형대수학 2016. 1. 9. 10:48

  이전에 행렬을 정의하고, 다양한 종류의 정사각행렬에 대해 알아보았습니다. 이러한 행렬을 이용하여 다항식을 풀이하는 방법을 소개할 것입니다. 그 전에 짤막하게(?) 다항식을 정의해야합니다. 꽤나 구성요소가 많지만, 중학교때부터 보아온 이미 익숙한 용어들일 것입니다. 1.4. 다항식 스칼라 $0$과 영다항식, 그리고 벡터 $\pmb0$ 은 어떻게 다른 것일까요? 예를 들면 이런 것입니다. A라는 나라와 B라는 나라는 각각 깃발을 가지고 있지만, A 나라의 깃발과 B 나라의 깃발은 서로 다르게 생긴 것입니다. B 나라의 병사가 A나라의 깃발을 들면 어색해지는 것처럼, 서로 달리 생긴 $0$을 서로 다른 집합이 혼용하여 사용하면 문제가 발생하는 것입니다. 여기에서는 '인수정리'라던가, '나눗셈 알고리즘'과 같은..

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• [선형대수학] 정사각행렬

  대학수학/선형대수학 2016. 1. 4. 10:05

  이제 행의 수와 열의 수가 같은 행렬인 정사각행렬과 그 분류에 대해 소개합니다.생각보다 많은 분류가 있습니다. 그중 대표적인 것 몇몇개를 소개하는 것입니다. 여기서 도입하는 수많은 개념들은 , 행렬을 좋은 형태로 만드는데 유용하게 쓰일 것입니다.우리가 방정식을 풀때에 바로 대입법, 가감법을 사용하는 것이 아니라 미지수 앞의 계수를 맞춘다던가 , 적절한 형태로 조금씩 변형하는 것과 같이 행렬도 비슷한 기법들이 존재합니다. 어쨌든 지금은 도구들을 도입하는 단계입니다.이 다음 포스팅에서는 다항식과 근, 해와 관련된 내용을 다룹니다.그리고 이를 행렬을 이용해여 표현하는 것을 소개할 것입니다.

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• [선형대수] 행렬

  대학수학/선형대수학 2016. 1. 1. 21:56

  체 라는 개념을 이용해서 우리에게 익숙한 '행렬'의 개념을 도입합니다. 만약 체라는 개념이 아직 와닿지 않는다면 , 간단하게 체 $F$ 대신에 실수집합(실수체) $\mathbb{R}$을 대입하여 생각하면 됩니다. 따라서 고등학교때 배운 행렬들은 모두 $Mat_{m\times n}(\mathbb{R} )$이라고 생각하면 됩니다. 앞으로의 포스팅에서도 예시를 들 때 $Mat_{m\times n}(\mathbb{R} )$ 에서의 예시를 들 것입니다.

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• [선형대수학] 체와 벡터공간

  대학수학/선형대수학 2015. 12. 29. 21:15

  행렬을 도입하기 전에 체와 벡터공간이라는 개념을 도입하며 시작합니다. 체, 벡터공간은 익숙한 개념이 아닙니다. 고등학교에서는 숫자끼리 더하고 곱하는데 아무런 눈치도 보지 않았습니다. 하지만 수학자들은 그것마저 깐깐하게 따지는 것입니다. 더할 수 있나? 곱할 수 있나? '체' 라는 구조는 숫자들이 서로 더해지고 곱해질 수 있게 할 수 있는 숫자의 운동장과 같습니다. 숫자들은 이러한 체 안에서 더해지고 곱해지는 것에 대해서는 허용되는 것입니다. 우리가 지금까지 실수끼리 더하고 빼고 곱하고 나눌 수 있었던 것도 실수집합 $\mathbb{R}$ 이 체이기 때문입니다. 이는 해석학의 예비학습의 체의 공리를 참고하시기 바랍니다.

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