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[복소해석학] 복소평면대학수학/복소해석학 2016. 1. 7. 15:13
앞의 포스팅에서는 복소수의 집합에 연산을 도입한 '복소수체'를 소개했다. 2016/01/01 - [대학수학/복소해석학] - [복소해석] 복소수체 이제 허수를 평면상에 나타낸 복소평면에 대해 알아보자. 복소수는 평면으로 표현되므로 굉장히 편한 점이 많다. 예를 들어, 한 $0$아닌 복소수 $z$를 두 성분의 벡터로 생각할 수 있다. 그리고 기존의 벡터의 크기 즉, 노름(Norm)의 형태를 통해 $z$의 크기를 도입할 수 있다. 이를 복소해석학에서는 모듈(Mudule)이라 한다. $z$를 스칼라로 보았을 때는 $z$의 모듈은 $z$의 '절대값'이 되고, 벡터로 보았을 때는 $z$의 '노름'이 된다. 즉, $0$ 아닌 복소수는 다양한 형태의 것들을 필요한 상황에 따라 달리 쓸 수 있다는 것이 가장 큰 강점이 ..
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[해석학] 집합의 볼자노 바이어슈트라스 정리대학수학/해석학 2016. 1. 6. 21:56
해석학의 유명한 정리인 축소구간정리와 볼자노 바이어슈트라스 정리에 대해 소개합니다. 이 앞 포스팅에서 집적점이라는 개념을 소개했는데요, 2015/12/31 - [대학수학/해석학] - [해석학] 내점과 집적점 어떤 경우에 집적점이 생길 수 있을지에 대한 것이 집합의 볼자노 바이어슈트라스 정리입니다. 계속해서 어떤 점이 쌓이려면 무한집합이 되어야겠죠. 하지만 양 옆으로 넓게 퍼져있다면 한 점에 계속해서 축적될 수 없을 것입니다. 볼자노 바이어슈트라스 정리는 그러한 고민을 한 것입니다. 여기서 논의되는 내용은 추후 수열과 연속성을 다룰 때에도 쓰이게 됩니다. 이 다음은 하이네-보렐 정리라는 또 굉장히 유명한 정리를 소개합니다. 대체로 2장의 내용은 위상수학에서 조금 더 추상적인 형태로 만나게 됩니다. 그에 대..
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[위상수학] 기저와 부분기저대학수학/위상수학 2016. 1. 5. 22:57
이제 열린집합의 형태를 구체적으로 나타내서 위상의 구조를 쉽게 파악하게 할 수 있는 '기저'를 소개한다. 이는 그림을 통해 이해하면 시간이 지나도 까먹지 않고 기억할 수 있다. 부분기저 $\mathscr{C}$로 기저 $\mathscr{B}$를 생성하고, $\mathscr{B}$로 위상 $\mathscr{T}$를 생성하는 부분을 기억하자. 부분기저와 기저의 차이점이 무엇인지, 위상과 기저의 차이점이 무엇인지를 고민해보면 그 구조를 파악하는데 도움이 될 수 있을 것 같다. 이 다음 포스팅은 '거리'와 '거리공간'에 대해 소개한다. 다만, 지금까지 배웠던 거리보다는 추상적일 것이다. 어쨌든 지금은 형태가 모호한 추상적인 수학을 배우고 있기 때문이다!
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[현대대수학] 군의 기본 성질대학수학/현대대수학 2016. 1. 5. 09:57
이전 포스팅에서는 군의 예를 통해서 군이라는 구조를 이해해봤습니다. 이번에는 군의 기본적인 성질에 대해 알아봅니다. 특히 항등원과 역원이 유일한지의 문제와 간략법칙을 소개합니다. 군을 $G$라고 하고 그 연산을 곱이라 할 때 그 원소 $x$를 거듭 곱했을 때, 혹은 $x^n$에 역원을 취할 때 등등의 간단한 성질들을 소개한 것입니다. 그런데, 간략법칙에 눈이 갑니다. 군을 정의할때 필요했던 결합법칙과 항등원은 정리 1.4.2의 간략법칙에 필요한 기본적인 도구였던 것입니다. 현대대수학을 막상 배워보면 '해를 푸는 문제'와 관련이 되어있나? 싶을 정도로 추상적이고, 숫자 하나 등장하지 않지만 이와 같이 구석구석에 많은 흔적들을 볼 수 있습니다.
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[선형대수학] 정사각행렬대학수학/선형대수학 2016. 1. 4. 10:05
이제 행의 수와 열의 수가 같은 행렬인 정사각행렬과 그 분류에 대해 소개합니다.생각보다 많은 분류가 있습니다. 그중 대표적인 것 몇몇개를 소개하는 것입니다. 여기서 도입하는 수많은 개념들은 , 행렬을 좋은 형태로 만드는데 유용하게 쓰일 것입니다.우리가 방정식을 풀때에 바로 대입법, 가감법을 사용하는 것이 아니라 미지수 앞의 계수를 맞춘다던가 , 적절한 형태로 조금씩 변형하는 것과 같이 행렬도 비슷한 기법들이 존재합니다. 어쨌든 지금은 도구들을 도입하는 단계입니다.이 다음 포스팅에서는 다항식과 근, 해와 관련된 내용을 다룹니다.그리고 이를 행렬을 이용해여 표현하는 것을 소개할 것입니다.
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[현대대수학] 군의 예대학수학/현대대수학 2016. 1. 4. 09:50
바로 앞 포스팅에서는 군의 정의에 대해 알아보았습니다. 2016/01/02 - [대학수학/현대대수학] - [현대대수학] 반군, 단군(모노이드), 군 이제 본격적으로 군은 어떤 것이 있는지 예시를 통해 이해해보겠습니다. 앞으로는 참으로 다양한 군을 소개하게 될 것입니다. 여기에서 소개한 것은 그 시작일 뿐입니다. 어떤 집합에 군의 구조를 조사하려면, 우선 원소가 무엇인지, 그리고 연산이 무엇인지, 그리고 그것이 이항연산을 이루는지를 탐구해야합니다. 그리고 실제로 군이 되는지를 탐구해야합니다. 여기에서, 집합이 공집합이 아닌지를 조사하는 것은 매우 의미가 있습니다. 구조가 있는 수학적 개념을 도입할 때, 공집합에 도입하면 의미가 없기 때문입니다. . 이 다음 포스팅에서는 군의 아주 기본적인 성질들을 소개합니..
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[현대대수학] 반군, 단군(모노이드), 군대학수학/현대대수학 2016. 1. 2. 09:16
현대대수학은 이항연산에 대한 지대한 관심을 갖는 학문입니다. 앞 포스팅에서 이항연산에 대해 논의해보았었습니다. 2015/12/30 - [대학수학/현대대수학] - [현대대수학] 이항연산 이제 하나의 이항연산을 갖는 집합에 대해 소개합니다. 이항연산이 주어지더라도, 숫자들에 어떠한 규칙을 정해주지 않는다면 원하는대로 작동하지 않는다는 것을 이 장에서 쉽게 알 수 있습니다. 우리가 자주 사용하고 있는 실수체 $\mathbb{R}$ 역시 이항연산을 갖고 있지만, 덧셈과 곱셈이라는 두가지 이항연산을 갖고 있으므로 이는 추후 '환과 체'에서 다룹니다. 어쨌든, 중학교과 고등학교에서 익숙하게 사용해왔던 '결합법칙'과 '교환법칙', '분배법칙' 등도 모두 $\mathbb{R}$이 그러한 것을 사용할 수 있는 집합이기 ..