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대학수학/현대대수학

• [현대대수학] 갈로아확대체와 갈로아정리

  대학수학/현대대수학 2022. 5. 21. 22:45

  4.7. 갈로아확대체와 갈로아정리 [소개] 드디어 갈로아정리를 소개할 차례이다. 현대대수학은 갈로아정리를 위해 끈덕지게 나아가는 과목이다. 갈로아정리에서는 지금까지 배워왔던 내용이 총망라하여 종합된다. 수학에서 가장 우아한 정리중 하나인 갈로아정리를 소개하기 위해 여러 정의를 도입해야한다. 이 절에서는 $\mathrm{Gal}(K/F)$의 부분군과 중간체 사이의 관계에 대해 논한다. Note 4.7.1. group side, field side $F\subseteq L\subseteq K$인 $K$의 부분체 $L$ 전체의 집합을 $\mathcal{F}$ 즉, $\mathcal{F}=\{E~|~F\leq E\leq K\}$ 갈로아군 $G(K/F)$의 부분군 $H$ 전체의 집합을 $\mathcal{G}$ 즉..

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• [현대대수학] 부분군

  대학수학/현대대수학 2020. 11. 2. 14:40

  1.5. 부분군 부분군은 군의 특수한 부분집합을 뜻한다. 정의 1.5.1. 부분군(subgroup) 군 $(G, \cdot)$에서 $G$의 부분집합 $H(\neq \varnothing)$가 $G$의 연산 $\cdot$에 대해 군을 이룰 때, $H$를 군 $G$의 부분군(subgroup)이라고 하고, $H\leq G$라고 표기한다. 별것 아니지만, $H(\neq \varnothing )$라는 조건은 왜 필요한 것일까? 물론 공집합은 집합적으로는 의미가 있지만, 군이나 위상과 같이 수학적 구조를 이야기할 때에는 공집합은 아무런 수학적 의미가 없기 때문에 제외시킨다. 정의 1.5.2. 자명한 부분군, 진부분군 군 $G$에서 $G$와 $\{ e\}$는 $G$의 부분군이다. 특히 $\{ e\}$를 $G$의 자명한..

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• [현대대수학] 군의 기본 성질

  대학수학/현대대수학 2016. 1. 5. 09:57

  이전 포스팅에서는 군의 예를 통해서 군이라는 구조를 이해해봤습니다. 이번에는 군의 기본적인 성질에 대해 알아봅니다. 특히 항등원과 역원이 유일한지의 문제와 간략법칙을 소개합니다. 군을 $G$라고 하고 그 연산을 곱이라 할 때 그 원소 $x$를 거듭 곱했을 때, 혹은 $x^n$에 역원을 취할 때 등등의 간단한 성질들을 소개한 것입니다. 그런데, 간략법칙에 눈이 갑니다. 군을 정의할때 필요했던 결합법칙과 항등원은 정리 1.4.2의 간략법칙에 필요한 기본적인 도구였던 것입니다. 현대대수학을 막상 배워보면 '해를 푸는 문제'와 관련이 되어있나? 싶을 정도로 추상적이고, 숫자 하나 등장하지 않지만 이와 같이 구석구석에 많은 흔적들을 볼 수 있습니다.

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• [현대대수학] 군의 예

  대학수학/현대대수학 2016. 1. 4. 09:50

  바로 앞 포스팅에서는 군의 정의에 대해 알아보았습니다. 2016/01/02 - [대학수학/현대대수학] - [현대대수학] 반군, 단군(모노이드), 군 이제 본격적으로 군은 어떤 것이 있는지 예시를 통해 이해해보겠습니다. 앞으로는 참으로 다양한 군을 소개하게 될 것입니다. 여기에서 소개한 것은 그 시작일 뿐입니다. 어떤 집합에 군의 구조를 조사하려면, 우선 원소가 무엇인지, 그리고 연산이 무엇인지, 그리고 그것이 이항연산을 이루는지를 탐구해야합니다. 그리고 실제로 군이 되는지를 탐구해야합니다. 여기에서, 집합이 공집합이 아닌지를 조사하는 것은 매우 의미가 있습니다. 구조가 있는 수학적 개념을 도입할 때, 공집합에 도입하면 의미가 없기 때문입니다. . 이 다음 포스팅에서는 군의 아주 기본적인 성질들을 소개합니..

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• [현대대수학] 반군, 단군(모노이드), 군

  대학수학/현대대수학 2016. 1. 2. 09:16

  현대대수학은 이항연산에 대한 지대한 관심을 갖는 학문입니다. 앞 포스팅에서 이항연산에 대해 논의해보았었습니다. 2015/12/30 - [대학수학/현대대수학] - [현대대수학] 이항연산 이제 하나의 이항연산을 갖는 집합에 대해 소개합니다. 이항연산이 주어지더라도, 숫자들에 어떠한 규칙을 정해주지 않는다면 원하는대로 작동하지 않는다는 것을 이 장에서 쉽게 알 수 있습니다. 우리가 자주 사용하고 있는 실수체 $\mathbb{R}$ 역시 이항연산을 갖고 있지만, 덧셈과 곱셈이라는 두가지 이항연산을 갖고 있으므로 이는 추후 '환과 체'에서 다룹니다. 어쨌든, 중학교과 고등학교에서 익숙하게 사용해왔던 '결합법칙'과 '교환법칙', '분배법칙' 등도 모두 $\mathbb{R}$이 그러한 것을 사용할 수 있는 집합이기 ..

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• [현대대수학] 이항연산

  대학수학/현대대수학 2015. 12. 30. 10:34

  1. 군1.1. 이항연산 현대대수학의 ‘군’이라는 개념을 다루기 전에 이항연산에 대해 정의해보자. 현대대수학은 ‘이항연산’에 대해 공부하는 것이나 다름없기 때문에, 앞으로도 이론을 진행함에 있어서 이항연산에 대한 문제가 가장 핵심적인 문제가 된다. 이와 관련된 자세한 내용은 이후 차근차근 다루게 될 것이다. 이항연산 정의 1.1.1. $A(\neq \emptyset )$: 집합, $f:A\times A\rightarrow A;(x,y)\mapsto z,f(x,y)=z$인 사상 $f$를 집합 $A$ 위의 이항연산(연산)이라 한다. 단, 순서쌍 $(a,b)$에서 $A$의 단 한 개의 원소인 $z$를 대응시켜야 한다. $f(x,y)$를 $x,y$의 합, 곱, 합성이라고 하며 $f(x,y)=z$와 같은 사실을 ..

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